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[答1024] 自然数での表示

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1024] 自然数での表示


 自然数を、前から見ても後ろから見ても同じであるような、

 自然数 または 自然数の和での表示を「回文的表示」ということにします。

 例えば 5 の回文的表示は、5 ,1+3+1 ,2+1+2 ,1+1+1+1+1 の 4 通りです。

 では、20 の回文的表示は何通り? また、21 の回文的表示は何通り?

 もちろん、4+12+4 も回文的表示です。

 後ろから見るとき、4+21+4 のように2桁の数を逆から見るようなことはしません。


[解答]

 +,
の2種類から重複を許して 10個を並べる順列は 210=1024 あり、

 この順列とその逆順を そのまま並べると、回文的な 20個の順列になり、

 中央の2個は同じなので1個を削除すれば、回文的な 19個の順列になります。

 例えば、++


++

は、

 ++


++



++


++ と

 ++


++


++


++ です。

 両端と間に 1 を挿入すれば、

 1+1+1
1
1
1+1+1
1+1
1
1+1
1+1+1
1
1
1+1+1=21 ,

 1+1+1
1
1
1+1+1
1+1
1+1
1+1+1
1
1
1+1+1=20 になり、

 
は計算してしまうと、

 1+1+4+1+2+3+2+1+4+1+1=21 ,1+1+4+1+2+2+2+1+4+1+1=20 です。

 従って、21 の回文的表示も 20 の回文的表示も

 +,
の2種類から重複を許して 10個を並べる順列で決まり、1024 通りです。


[参考]

 21 の回文的表示は、必ず奇数個の和で表されます。

 中央の数が 1 であれば その +1 を除き、 中央の数が 1 以外であれば その数から 1 を引けば

 20 の回文的表示と対応します。

.

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
男郎花の花でしょうか!?
満開になると白い花が綺麗ですね!!

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

オトコエシはいつも森の中でひっそり咲いています。
こんな群生は見たことないですね。

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
秋、秋って感じますよ~(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、オトコエシです。
オミナエシと違って見る機会は少ないですが、白い花もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私は森の中で見た記憶がありません。
これだけのたくさんの男郎花を長居植物園で見ました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
オトコエシも秋らしい花ですね。
白いので、オミナエシほど目立ちませんが……。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
左右対称なので…10の並び方だけあることはわかりましたが…
すぐに2^10とは気づけませんでしたし…
感覚的にはそりゃそうだとは思えましたけど…
21の奇数が20の偶数の並びと同じだけあることも...計算するまで気づけませんでしたわ…^^;☆

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
自然数の和で表すとき、1+1+1+1+…… において、
計算する+と計算しない+を決める方法の数になりますね。

樹☆  
No title

男郎花の群生は、ちょっとした迫力を
感じますね。
がんばれ~と応援したくなります。笑

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
オトコエシはオミナエシに比べて少し大きいですが、
オミナエシほど目立ちません。
結婚披露宴と同じ構図ですね。

再出発  
No title

計算する「+」って分かり易い!

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントをありがとうございます。
この解き方はこのような問題の常套手段と思います。
+を計算するものと計算しないもとを区別すればOKですね。