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[答1025] 2進法で1が2個

ヤドカリ

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[答1025] 2進法で1が2個


 3+5+6+9+10+12+17+…… と、2進法で表すと1が2個である自然数を小さい順に加えます。

 この和が初めて 10000を超えるとき、最後に加えた数は? また、その和は?


[解答1]

 例えば、2進法で表すと5桁で1が2個である数は、

 10001(2) ,10010(2) ,10100(2) ,11000(2) の4個で、

 その和は 10000(2)・4+1111(2)=10000(2)・5-1=5・24-1 です。

 同様に、2進法で表すとk桁で1が2個である数の和は、k・2k-1-1 です。

 S=1・20+2・21+3・22+……+(n-2)・2n-3+(n-1)・2n-2+n・2n-1 とおけば、

 2S=    1・21+2・22+3・23+……………+(n-2)・2n-2+(n-1)・2n-1+n・2n

 4S=        1・22+2・23+3・24+……………………+(n-2)・2n-1+(n-1)・2n+n・2n+1

 S+4S-2・2S=1・20+2・21+(n-1)・2n+n・2n+1-2(1・21+n・2n) 、

 S=1+4+(n-1)・2n+2n・2n-4-2n・2n=1+(n-1)・2n なので、

 2進法で表すとn桁以下で1が2個である数の和は、S-n=1+(n-1)・2n-n=(n-1)(2n-1) です。

 この式の値が 10000以下で 10000に最も近いのは n=10 のときで、9(210-1)=9207 、

 2進法で11桁の 10000000001(2)=1025 を加えて、10232 です。


[解答2]

 例えば、2進法で表すと5桁以下で1が2個である数は、

  00011(2) ,00101(2) ,00110(2) ,01001(2) ,01010(2) ,01100(2) ,10001(2) ,10010(2) ,10100(2) ,11000(2)

 の、52=10 個あり、どの桁においても 1であるものは全体の 2/5 ですので、10・2/5=4 個です。

 従って、10個の合計は 4・11111(2)=4(25-1)=124 です。

 同様に、2進法で表すとn桁以下で1が2個である数の和は、

 n2・(2/n)・(2n-1)={n(n-1)/2}(2/n)・(2n-1)= (n-1)(2n-1) です。

 この式の値が 10000以下で 10000に最も近いのは n=10 のときで、9(210-1)=9207 、

 2進法で11桁の 10000000001(2)=1025 を加えて、10232 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

白いヒガンバナは当方では少ないです。
秋分の日(22日)は彼岸の中日、
ブログでヒガンバナの記事更新多くなりました。
庭の蕾も時期合わせたように咲くようです~

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
白の彼岸花が綺麗ですね!!

今年は白に負けじと赤や黄色も一斉に咲きだしているようですね

ナイス♪

ゆうこ つれづれ日記  
No title

白の彼岸花は珍しいのでは?
道東ではいられないお花です。
朱色の彼岸花も見たことがないです。
お彼岸にあったお花ですね。
ナイス☆
台風が近づいています。
気を付けてください。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ぼちぼち、みなさんのところで彼岸花を見ています。
白いのもいいですよね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

ヒゲ(蕊)の具合も良く撮れています
さてどう撮ろうか迷う花ですよね。
この辺はこれからですから上手く撮りたいな。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
4を4個使って10を作れじゃないけど…^^
2^10=1024
絡みの問題を次から次へとよく思い付かれるもの!!…
と匠の業にただ驚嘆♪…のわたしですだ ^^☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方でも白い彼岸花は少ないですが、近年よく見られるようになりました。
名前の通り、彼岸が近づくと一斉に咲き出しますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
彼岸花の赤はよく見かけますが、白はやはり少ないです。
黄色は鐘馗水仙でしょうか、形は彼岸花そっくりですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
道東では冬を越せないのでしょうか?
この花がお墓参りを思い出させてくれます。
ところで、台風はまだ遠いですが、備えは必要ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
彼岸花は花期が短いので、記事にしないと時宜を逸します。
写真をボツにしないように、アップしました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
よく見る花ですので、撮り方に迷いますね。
綺麗に咲いていても、背景によって興ざめになりますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
1024は使いやすい数ですが、単純すぎて捻りが入らないです。
その前後が、捻りを絡ませやすいです。

樹☆  
No title

こんばんは
白い彼岸花・・昔は珍しかったけど最近は結構見かけます。
我が家は赤い彼岸花を昨日供えました。
台風また来てます。
お互い気をつけましょうね。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
最近は白いのもけっこう見られますね。
台風ですが、元台風の低気圧の雨が連休を台無しにしそうです。
蒸し暑くなりそうです。