[答1026] 正45角形と対角線

[答1026] 正45角形と対角線


　正45角形には対角線が 945本あります。

　(1) 正45角形の内部で交わるように 945本の対角線のうち２本を選ぶ方法は何通り？

　(2) (1)のうち その交角が 80ﾟ であるような選び方は何通り？


[解答]

　45個の頂点のうちの４個を頂点とする四角形の対角線は、正45角形の内部で交わる対角線です。

　よって、(1)は ₄₅Ｃ₄＝45･44･43･42/4!＝45･11･43･7＝148995 です。

　正45角形の外接円において、１辺に対する円周角は 180ﾟ/45＝4ﾟ 、

　交角が 80ﾟ であるためには、図の緑と紫の部分に 80ﾟ/4ﾟ＝20 本の辺があることになります。

　１つの頂点から左回りに 0，1，2，……，44 と番号をつけ、対角線の１本を０を端点決めれば、

　例えば、0と28を結ぶ対角線と 13と35を結ぶ対角線の交角は 80ﾟ です。

　これは、(13－0)＋(35－28)＝20 だからです。

　(a－0)＋(c－b)＝20 ，1≦a＜b＜c≦44 を満たす自然数 a，b，c を選ぶには、

　1≦a≦19，21≦c≦44，b＝a＋c－20 とすればよいので、19･24＝456 通り、

　どの頂点を 0 にするかを決める方法は 45 通りあり、456･45＝20520 通り、

　同じものを２度ずつ数えているので、20520/2＝10260 通りです。

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