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[答1026] 正45角形と対角線

ヤドカリ

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[答1026] 正45角形と対角線


 正45角形には対角線が 945本あります。

 (1) 正45角形の内部で交わるように 945本の対角線のうち2本を選ぶ方法は何通り?

 (2) (1)のうち その交角が 80゚ であるような選び方は何通り?


[解答]

 45個の頂点のうちの4個を頂点とする四角形の対角線は、正45角形の内部で交わる対角線です。

 よって、(1)は 454=45・44・43・42/4!=45・11・43・7=148995 です。

 正45角形の外接円において、1辺に対する円周角は 180゚/45=4゚ 、

 交角が 80゚ であるためには、図の緑と紫の部分に 80゚/4゚=20 本の辺があることになります。

 1つの頂点から左回りに 0,1,2,……,44 と番号をつけ、対角線の1本を0を端点決めれば、

 例えば、0と28を結ぶ対角線と 13と35を結ぶ対角線の交角は 80゚ です。

 これは、(13-0)+(35-28)=20 だからです。

 (a-0)+(c-b)=20 ,1≦a<b<c≦44 を満たす自然数 a,b,c を選ぶには、

 1≦a≦19,21≦c≦44,b=a+c-20 とすればよいので、19・24=456 通り、

 どの頂点を 0 にするかを決める方法は 45 通りあり、456・45=20520 通り、

 同じものを2度ずつ数えているので、20520/2=10260 通りです。

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Comments 14

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ヤドカリ  
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写真の花はリコリス・キネンシスです。
長居公園で見ました。

ニリンソウ  
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> ヤドカリさん、おはようございます。
長居植物園の秋いいですね~
これは彼岸花って言わないのですね。リコリス。
いろんな色があるんだね。

ナイス

ひとりしずか  
No title

鮮黄色 の燃え上がる様な黄金色、すっごい目立ちますねー
中国原産のリコリスで、国内流通はあまり無いのだとか……

ひとりしずか  
No title

マンジュシャゲと同じように花が終わってから葉が出るのでしょうか?

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
交角の意味がよくわかりました☆
わたしは...片方の直線を平行移動して、円周角が辺20個分で,1個分移動させたら…±1で辺20個分になると考えましたが…[解答]の方がわかりやすいなぁ♪ Orz~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは!!
リコリス には色んな色や種類がありますね

彼岸花との違いが解りづらいですネ!!

ナイス♪

ゆうこ つれづれ日記  
No title

彼岸花かと思いました。
リコリス・キネンシスと言うお花なんですね。
きれいなお花です。
ポチ☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
リコリスは品種が多いので、これからも長く見られそうです。
彼岸花と違って、形は少し単純なものが多いですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
流石にこの色は目立ちますね。
彼岸花と同じで、葉はまだ見られませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
分かり易く説明するのはなかなか難しいものです。
それだけに「わかりやすい」とコメントを下されば嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
リコリスは品種が多く、色も多様ですね。
野に咲く彼岸花なら遠目でも分かるのですが、リコリスは難しいです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
近年はリコリスもよく見かけるようになりました。
鉢植えで見ることも多いので、人気の花なのでしょう。

樹☆  
No title

リコリスってピンク色の花だと
思ってました。黄色もそういう名称なんですね。
最近色んな色彩がありますね。

でも田舎育ちのわたしには、畔道で見かける花が一番
彼岸花らしいと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
リコリスは種類が多いので、私には真っ先にイメージする色がありません。
田舎育ちと仰いますが、我々の子供の頃は、
日本のほとんどが田舎だったような気もします。