[答1026] 正45角形と対角線
[答1026] 正45角形と対角線
正45角形には対角線が 945本あります。
(1) 正45角形の内部で交わるように 945本の対角線のうち2本を選ぶ方法は何通り?
(2) (1)のうち その交角が 80゚ であるような選び方は何通り?
[解答]
45個の頂点のうちの4個を頂点とする四角形の対角線は、正45角形の内部で交わる対角線です。
よって、(1)は 45C4=45・44・43・42/4!=45・11・43・7=148995 です。
正45角形の外接円において、1辺に対する円周角は 180゚/45=4゚ 、
交角が 80゚ であるためには、図の緑と紫の部分に 80゚/4゚=20 本の辺があることになります。
1つの頂点から左回りに 0,1,2,……,44 と番号をつけ、対角線の1本を0を端点決めれば、
例えば、0と28を結ぶ対角線と 13と35を結ぶ対角線の交角は 80゚ です。
これは、(13-0)+(35-28)=20 だからです。
(a-0)+(c-b)=20 ,1≦a<b<c≦44 を満たす自然数 a,b,c を選ぶには、
1≦a≦19,21≦c≦44,b=a+c-20 とすればよいので、19・24=456 通り、
どの頂点を 0 にするかを決める方法は 45 通りあり、456・45=20520 通り、
同じものを2度ずつ数えているので、20520/2=10260 通りです。
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