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[答1027] 内心・外心・垂心

ヤドカリ

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[答1027] 内心・外心・垂心


 半径が 5 の円に内接する△ABCがあり、その内心を I,外心を O,垂心を H とします。

 ∠BIC,∠BOC,∠BHC がこの順に等差数列になるとき、BC=?

 なお、HとB または HとC が一致するときは ∠BHCを定義しないものとします。


[解答]

 ∠BAC=θ とすれば、BC=2・5sinθ=10sinθ です。

 中心角は円周角の2倍だから、

 0<θ≦π/2 のとき ∠BOC=2θ 、π/2≦θ<π のとき ∠BOC=2π-2θ 、

 また、∠BIC=π-(∠IBC+∠ICB)=π-(∠ABC+∠ACB)/2=π-(π-θ)/2=π/2+θ/2 、

 次に、AHを直径とする円を描けば、∠BAC+∠BHC=π または ∠BAC+∠BHC=π 、

 よって、∠BHC=π-θ または ∠BHC=θ になります。

 2∠BOC=∠BIC+∠BHC だから、

 0<θ≦π/2 のとき 2・2θ=π/2+θ/2+π-θ または 2・2θ=π/2+θ/2+θ 、

 θ=π/3,π/5 になり、

 π/2≦θ<π のとき 2(2π-2θ)=π/2+θ/2+π-θ 、θ=5π/7 です。

 よって、BC=10sin(π/3),10sin(π/5),10sin(5π/7) 、

 BC=5√3,10sin(π/5),10sin(2π/7) です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
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シカクマメ(四角豆)の花
莢見慣れない形してますネ
若い莢や葉、熟した豆、根粒が食用になるんですね!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
えっ!薄紫の花は何の花?
実も見えるけど何の実かしら・・・
ポチ☆

ニリンソウ  
No title

花は初めて見ますがマメ科の顔してない。
いい色ですね。
切っても■だから面白いマメです。

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
見たような気もしますが、すっかり、お花の名前がでてきません(´・ω・`)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
よくわかりませんでした…^^;
読むと意味がわかりましたが…
鈍角三角形のときは…垂心はその鈍角の頂点になること初めて認識しましたわ ^^;☆
面白い問題ねぇ♪

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
豆科は分かっていたのですが四角豆ですネ!!
サッと湯がいてサラダで食べたら美味しかったです♪
ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
四角豆を調べて頂いたのですね。
花は普通だと思いますが、実がどうしてこんな形になるのか不思議です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花が綺麗ので撮りましたが、見ると四角の実が出来ていました。
南方の植物ですので、そちらでは見られないかも知れませんね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
花の色が綺麗なので撮りました。
よく見ると熟していないので目立ちませんでしたが、実で明らかですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
四角豆の花と実です。
実が特徴的ですので、名前を覚えやすいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
垂心は、直角三角形の場合はその直角の頂点、
鋭角三角形の場合は内部、鈍角三角形の場合は外部です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
「サッと湯がいてサラダで」というのを、
覚えておくことにします。自信ないけど……。

たけちゃん  
No title

π/5を見落とし,誤答を送ってしまいました.

正しい結論に直すきっかけを作ってくださったuch*n*anさん,
正答を送り直すように促していただいたヤドカリさんに感謝です.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
私も出題者としての思いが強く、先入観がありました。

樹☆  
No title

可憐な花は四角豆の花ですか。
お豆は知ってるけど、名前は知りませんでした。
勉強になるなぁ。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
四角豆って不思議な形ですね。
マメ科も種類が多いので面白いですが、覚えきれません。