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[答1028] 四角形と長さ

ヤドカリ

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[答1028] 四角形と長さ


 図のように、AB=5,BC=CD=20,DA=10 である四角形ABCDがあります。

 ∠EAB=∠DAF,∠ECB=∠DCF となるように、対角線DB上に点F,DBの延長上に点E をとるとき、

 長さの比 AE:EC:CF:FA=? 更に、EB=BD であるとき、(EB,BF,FD)=?


[解答]

 △AEB:△AFD=AE・AB:AF・AD=EB:FD 、△CEB:△CFD=CE・CB:CF・CD=EB:FD だから、

 AE・AB:AF・AD=CE・CB:CF・CD 、5AE:10AF=20CE:20CF 、AE・CF=2AF・CE です。

 △AEF:△ABD=AE・AF:AB・AD=EF:BD 、△CEF:△CBD=CE・CF:CB・CD=EF:BD だから、

 AE・AF:AB・AD=CE・CF:CB・CD 、AE・AF:50=CE・CF:400 、CE・CF=8AE・AF です。

 AE・CF=2AF・CE ,CE・CF=8AE・AF を辺々乗じて、AE・CF・CE・CF=16AF・CE・AE・AF 、

 CF2=16AF2 、CF=4AF 、

 AE・CF=2AF・CE に代入して、AE・4AF=2AF・CE 、CE=2AE です。

 ここで、2cos∠EAF=2cos∠DAB だから、

 (AE2+AF2-EF2)/(AE・AF)=(AB2+AD2-BD2)/(AB・AD) 、

 △AEF:△ABD=AE・AF:AB・AD=EF:BD と併せて、

 (AE2+AF2-EF2)/EF=(AB2+AD2-BD2)/BD 、

 同様に (CE2+CF2-EF2)/EF=(CB2+CD2-BD2)/BD 、

 辺々減じて、(CE2+CF2-AE2-AF2)/EF=(CB2+CD2-AB2-AD2)/BD 、

 (4AE2+16AF2-AE2-AF2)/EF=(202+202-52-102)/BD 、

 (3AE2+15AF2)/EF=675/BD 、(3AE2+15AF2)/(AE・AF)=675/(AB・AD) 、

 (AE2+5AF2)/(AE・AF)=225/(5・10) 、(AE2+5AF2)/(AE・AF)=9/2 、

 2(AE2+5AF2)=9AE・AF 、(AE-2AF)(2AE-5AF)=0 、AE=2AF または 2AE=5AF です。

 AE=2AF のとき CE=2AE=4AF=CF となり、適しません。

 2AE=5AF のとき AE=5AF/2 ,CE=2AE=5AF になり、CF=4AF だから、

 AE:EC:CF:FA=5AF/2:5AF:4AF:AF=5:10:8:2 です。


 また、EB:FD=△AEB:△AFD=AE・AB:AF・AD=(5AF/2)・5:AF・10=5:4 になりますので、

 EB=BD であるとき、EB:BF:FD=5:1:4 です。

 更に、パップスの中線定理により、

 AE2+AD2=2EB2+2AB2 ,CE2+CD2=2EB2+2CB2

 4AE2+4・102=8EB2+8・52 ,4AE2+202=2EB2+2・202

 辺々減じて、0=6EB2-600 、EB=10 です。

 EB:BF:FD=5:1:4 と併せて、(EB,BF,FD)=(10,2,8) です。


☆ EB=BD であるとき、 AE2+AD2=2EB2+2AB2

 AE2+102=2・102+2・52 、AE2=150 、

 AE=5√6 ,EC=10√6 ,CF=8√6 ,FA=2√6 になります。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

わぁ~ルコウソウ
庭に欲しい花!

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
ルコウソウですね♪
小さな花が一杯咲いている姿は可愛いですネ!!
大好きな花ですが今年は余り見ることが出来ませんでした
以前はこぼれ種で一杯咲いてくれていたのに残念です!!

ナイス♪

樹☆  
No title

おはようございます

お星さまが、お酒飲んだらこんな色になるのでしょうか。
ほんとに可愛いルコルソウです。

ニリンソウ  
No title

マルバルコウソウは見たけど
このルコウソウは見なかった、ホントに赤い星だった
んですね。

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
真っ赤できれいですね~見てみたいです(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
コメ欄にあった過去問[549]に倣って考えました ^^;v
□の辺の比をどうやって求めたのかわからなくなってしまいましたが…
後半も同じ考え+余弦定理から…求まりました♪
想定外に面倒な問題でしたのねぇ ^^;;…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ルコウソウの真赤な花がいいですね。
庭にあればアクセントになりますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私にとっても好きな花ですが、今年は見る機会が少なかったと思います。
特に、白のルコウソウは見られませんでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
本当に☆のような形ですね。
ただ、私には☆が飲酒するなんて発想はありませんでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ルコウソウがもう終わりそうで、慌ててアップしました。
マルバルコウソウは今もよく見かけますので、明日にでもアップします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ルコウソウの赤は目立ちますね。
しかも写真でも色がよく出ますので、好きな赤です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
面倒な問題だったかも知れませんね。
[解答]も長くなってしまいました。