FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1029] 正六角形内の正六角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1029] 正六角形内の正六角形


 面積がSの正六角形ABCDEFがあり、辺BC,CD,DE,EF,FA,ABを 17:3 に内分する点と

 頂点A,B,C,D,E,Fをそれぞれ結ぶと、図のように内部に正六角形ができます。

 内部の正六角形の面積が 4 のとき、S=?


[解答1]

 図のように、点K,L,Nを定め、AB=20a,BL=17a,AL=b とします。

 余弦定理により、b2=(20a)2+(17a)2-2・20a・17a・cos120゚=1029a2 です。

 △ABC=S/6 ですので、△ABL=(17/20)△ABC=17S/120 、

 △BNL∽△ABL だから △BNL:△ABL=BL2:AL2=289a2:1029a2=289:1029 、

 △BNL=(289/1029)△ABL になり、△ABN=(1-289/1029)△ABL=(740/1029)・17S/120=629S/6174 、

 S-4=6△ABN=629S/1029 、400S/1029=4 、S=4・1029/400=10.29 です。


[解答2]

 図のように、点K,L,M,Nを定め、AB=20a,BL=17a,AL=b とします。

 余弦定理により、b2=(20a)2+(17a)2-2・20a・17a・cos120゚=1029a2 です。

 △BNL∽△ABL だから BN:AB=NL:BL=BL:AL 、BN:20a=NL:17a=17a:b となり、

 AM=BN=340a2/b ,NL=289a2/b 、

 MN=AL-AM-NL=b-340a2/b-289a2/b=(b2-629a2)/b=400a2/b 、

 S:4=AB2:MN2=400a2:(400a2/b)2=b2:400a2=1029a2:400a2=1029:400 、

 S=4・1029/400=10.29 です。


[解答3]

 座標平面上で、正六角形の中心を O(0,0),F(2a,0),A(a,a√3),B(-a,a√3) とすれば、

 ABを 17:3 に内分する点は(-0.7a,a√3)であり、

 (-0.7a,a√3)とFを結ぶ直線は、x√3+2.7y-2a√3=0 であり、

 ヘッセの公式により、Oとの距離は |2a√3|/√(3+2.72) です。

 一方、OとABの距離は |a√3| だから、

 4:S={|2a√3|/√(3+2.72)}2:|a√3|2=4/10.29:1=4:10.29 、S=10.29 です。


[解答4] たけちゃんさんのコメントを参考に

 図のように、点K,L,M,N,Pを定めます。

 BL:LC=17:3より CP=(3/17)AB 、

 LN:NA=KM:MF=AK:PF=AK:(PC+CF)=(17/20)AB:(37/17)AB=289:740 、

 AN=(740/1029)AL です。

 よって、△ABN=(740/1029)△ABL=(17/20)(740/1029)△ABC=(629/1029)(S/6) になり、

 内部の正六角形の面積は S-6△ABN=S-(629/1029)S=4 、(400/1029)S=4 、S=10.29 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ツルボかなぁ~
球根に毒成分があるようです

今朝は12℃とても寒いです。冬が近い・・・

さっちゃんこ  
No title

おはようございます

田んぼの畦道などでツルボの花を良く見かけるようになりましたね
薄紫の可愛い花ですネ
ナイス☆彡

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~~
ヤドカリさん地方、暑さから少し解放されましたか?
私のところでは今朝8℃でした。
秋が深くなってきました。

ひとりしずかさんやさっちゃんこさんのコメントを見ると
ツルボと言うお花なんですね。
道東にないお花です。
薄紫の小さなお花が可愛いですね。
ナイス☆

樹☆  
No title

こんにちは
朝は爽やかな秋風だったのですが・・
また雲行きがおかしいです。

お花がまるで線香花火のように
可愛いですね^^淡い花火です。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
考えあぐねた挙げ句…^^;
ONの距離を座標から求め…
(OC/OA)^2*4で求めましたぁ ^^;v
熟読玩味ぃ~Orz~

ニリンソウ  
No title

ツルボが群生してますね。
大好きですよ、あの場所もう終わったかなぁ~
近くで見れる場所があるといいですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ツルボの球根には仰る通り毒があるようですが、
花を見ている分には、可愛い花だと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらでもとく見かけますか、私も今年はなぜかよく見かけます。
薄い紫の花も可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このところ天気も良くなく、朝は涼しいですが、
湿度が高く、ちょっと動くと暑いです。
ところで、ツルボは北海道南西部から南、
日本のほとんどの地域で見られるそうです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このごろ秋雨前線のために、いつ雨が降るかわからないような天気です。
ツルボを線香花火に見立てるなんて、面白いですが、
花がポトリと落ちてしまいそうな気がします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
辺の微妙な所と繋がれていますので、案外手古摺ったかも知れません。
出題者としては、数値設定に苦労しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ツルボは野草ですが花は割に可愛いですね。
来年もまたこの時期に見たい花です。