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[答1030] 異なる色の確率

ヤドカリ

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[答1030] 異なる色の確率


 赤球 30 個,白球 87 個の 計 117 個の球が入った袋から 無作為に2球を取り出すとき

 2球の色が異なる確率を p とするとき、p=?

 また、m<n ,m+n<117 として、

 赤球m個,白球n個の 計 m+n 個の球が入った袋から無作為に2球を取り出すとき

 2球の色が異なる確率が p であるとき (m,n)=?


[解答]

 赤球m個,白球n個が入った袋から無作為に2球を取り出すとき 2球の色が異なる確率は、

 mn/m+n2=2mn/{(m+n)(m+n-1)} だから、

 p=2・30・87/(117・116)=5/13 です。

 2mn/{(m+n)(m+n-1)}=5/13 だから、26mn=5(m+n)(m+n-1) 、

 m+n ,m+n-1 のいずれかは 13 の倍数です。

 m+n が 13 の倍数のとき、m+n=13k (k≦8) とすれば、

 26mn=5(m+n)(m+n-1) より 26mn=5・13k(13k-1) 、mn=5k(13k-1)/2 、

 (m-n)2=(m+n)2-4mn=169k2-10k(13k-1)=k(39k+10) 、

 この式において、(k,(m-n)2)の組は、

 (1,49),(2,2・88),(3,3・127),(4,4・166),(5,5・205),(6,6・244),(7,7・283),(8,8・322) 、

 (m-n)2 が平方数になるのは (k,(m-n)2)=(1,49) のときで、

 m-n=-7,m+n=13k=13 だから、(m,n)=(3,10) です。

 m+n-1 が 13 の倍数のとき、m+n-1=13k (k≦8) とすれば、

 26mn=5(m+n)(m+n-1) より 26mn=5・(13k+1)・13k 、mn=5k(13k+1)/2 、

 (m-n)2=(m+n)2-4mn=169k2+26k+1-10k(13k+1)=(3k+1)(13k+1) 、

 この式において、(k,(m-n)2)の組は、

 (1,4・14),(2,7・27),(3,10・40),(4,13・53),(5,16・66),(6,19・79),(7,22・92),(8,25・105) 、

 これが平方数になるのは (k,(m-n)2)=(3,10・40) のときで、

 m-n=-20,m+n=13k+1=40 だから、(m,n)=(10,30) です。


[参考1]

 26mn=5(m+n)(m+n-1) より、m,n の少なくとも一方は5の倍数です。

 5の倍数の方を 5k,他方を x とすれば、

 26・5k・x=5(x+5k)(x+5k-1) 、26kx=(x+5k)(x+5k-1) 、

 x2-(16k+1)x+5k(5k-1)=0 、その解の和は 16k+1 です。

 (m,n)=(30,87) が解だから、5k=30 とすれば解の和は 16k+1=97 、

 x=87 は解だから x=10 も解、(m,n)=(10,30) も解です。

 (m,n)=(10,30) が解だから、5k=10 とすれば解の和は 16k+1=33 、

 x=30 は解だから x=3 も解、(m,n)=(3,10) も解です。

 全部という保証はありませんが、該当する(m,n)が求められます。


[参考2]

 x2-(16k+1)x+5k(5k-1)=0 の判別式 52k(3k+1)+1 が平方数になるものを

 k≦2000000 の範囲でプログラムで求めると以下のようになります。

  k=2 ,(m,n)=(3,10),(10,30)

  k=6 ,(m,n)=(10,30),(30,87)

  k=108 ,(m,n)=(189,540),(540,1540)

  k=308 ,(m,n)=(540,1540),(1540,4389)

  k=5406 ,(m,n)=(9487,27030),(27030,77010)

  k=15402 ,(m,n)=(27030,77010),(77010,219403)

  k=270200 ,(m,n)=(474201,1351000),(1351000,3849000)

  k=769800 ,(m,n)=(1351000,3849000),(3849000,10965801)

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
温室のバナナとかの種類のお花でしょうか?(o^-^o)

樹☆  
No title

おはようございます。
どこかの温室ですか?
花芭蕉の花が咲いてる♪

今週もまた台風・・進路が気になります。

ひとりしずか  
No title

ムサ・ベルティナという花のような~
咲くやこの花館にあるんですネ
(暑い国の花と思いましたらインド北東部のアッサム地方…)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは!!
名前は分かりませんが此方でも見掛けますね
勝手に生け花用のバナナで通しています

モンキーバナナをもっと小さくしたみたいです)!!

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
後半...よくわからず…^^;
(m+n) or (m+n-1)が13の倍数の場合をすべてチェックしちゃいましたぁ ^^;…Orz~
[参考1]が面白いです♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
バナナの一種ですが、温室ではありません。
バナナの色が面白いですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花の文化園で見たものですが、温室ではありません。
ところで、台風18号、沖縄で4つの特別警報が出ている恐ろしいものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ムサ・ベルティナ、難しい名前ですね。別名のピンクバナナが分かり易いです。
これは、花の文化園で見たものですが、咲くやこの花館にもあるのですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
通称ピンクバナナです。見た通りの名前でした。
そちらでも咲いているのは納得できます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
なるべく楽に求められる方法を工夫するのが醍醐味です。
[参考1]に気づいてほしい問題でした。