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[答1032] 交差する弦のなす角

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1032] 交差する弦のなす角


 図のように、円周を 75等分する点があります。

 この中から無作為に4点を選び、円内で交差する2本の弦を描くとき、

 交差する弦のつくる角が 60゚(120゚)になる確率は?

 また、確率が 217/5402 になるのは、交差する弦のつくる角が 何度のとき?


[解答]

 1点を固定しても確率は変わりませんので、

 固定する1点から左回りに 1,2,3,……,75 と番号をつけ、

 2,3,……,75 の番号から3個を選び、小さい順に a,b,c とすれば、

 番号の選び方は、743=74・73・72/3!=74・73・12 通りです。

 また、隣り合う2点の間の弧に対する円周角は 180゚/75=12゚/5 ですので、

 12゚/5=θ とすれば、

 一般に、m<n として、点mから左回りに点nまでの弧に対する円周角は (n-m)θ 、

 交差する弦のつくる角が 60゚=25θ または 120゚=50θ になるのは、a-1+c-b=25,50 のときです。

 a-1+c-b=k とすれば、b=a+c-k-1 になり、

 a<b<c ですので、a<a+c-k-1<c 、a<k+1<c のときに b が決まります。

 a は 2 から k までの k-1 種類,c は k+2 から 75 までの 74-k 種類 になり、

 (a,c)の選び方は (k-1)(74-k) 通りあります。

 従って、k=25 のとき 24・49 通り、k=50 のとき 49・24 通りになるので、

 交差する弦のつくる角が 60゚ または 120゚ になる確率は、24・49・2/(74・73・12)=98/2701 です。

 次に、確率が 271/5402 になるときの 交差する弦のつくる角を

 mθ または nθ (m+n=75,m<n) とすれば、a-1+c-b=m,n です。

 k=m のとき (m-1)(74-m)=-m2+75m-74 通り、

 k=n のとき (n-1)(74-n)=-n2+75n-74 通りで、

 合計は -(m+n)2+2mn+75(m+n)-148=2(mn-74) 通り、

 確率は 2(mn-74)/(74・73・12)=217/5402 、2(mn-74)/12=217 、mn=1376 になり、

 m,n は x2-75x+1376=0 の解、(x-32)(x-43)=0 、m=32,n=43 、

 mθ=32・12゚/5=76.8゚ 、すなわち、76.8゚(103.2゚) です。

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Comments 9

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
コムラサキの実がたわわに、ツヤツヤですね。
ムラサキシキブのほうはまだ色が付きませんよ。
こちらは曇り空、そちらは晴れの朝を迎えたでしょう。

ナイス

ひとりしずか  
No title

コムラサキシキブ見事な実付きの一枝!

樹☆  
No title

こんにちは
今日は久しぶりの旧名が重なった体育の日。
スポーツされますか?

コムラサキシキブたわわです、嬉しくなります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
今日は秋晴れ♪
こんな日は歩かなきゃ行けないんだけど…^^;

以前の問題を参考にさせて頂きましたぁ~Orz~
円外の交差まで考えたら…2組の辺が平行でない場合交点3個,1組の辺だけが平行の場合交点2個,2組とも平行な場合1個なので…ややこしそうね ^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コムラサキシキブは9月ごろからよく見ます。
ところで、当方は今日は朝からよいお天気でした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
コムラサキシキブはよく目立ちますね。
この実を見ると秋が来たなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
久しぶりの10月10日の体育の日ですね。
今日は歩くだけでしたが、長時間でした。
今日もコムラサキシキブをみましたょ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今日は本当に心地よい秋晴れで、私はしっかり歩きました。
題材として使いやすい図ですので、また登場するかも知れません。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは!!
コムラサキの実が見事ですね!!

此方でも紫の色濃くなったコムラサキの実を良く見かけます!!

ナイス♪