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[答1033] 正三角形の1辺

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1033] 正三角形の1辺


 半径が 4,18,22 の同心円があり、半径 4 の円周上に点A ,半径 18 の円周上に点B,

 半径 22 の円周上に点C をとって、正三角形ABCを作るとき、その1辺の長さは?


[解答1]

 xy平面上で A(a,0),B(-a,0),C(0,-a√3),同心円の中心をP(p,q) とします。

 PA2=(p-a)2+q2 ,PB2=(p+a)2+q2 だから、(PB2-PA2)/4=ap 、ap=(182-42)/4=77 、

 (PB2+PA2)/2=p2+q2+a2 、p2+q2+a2=(182+42)/2=170 、

 PC2=p2+q2+2aq√3+3a2=170+aq√3+2a2

 aq√3=(PC2-170-2a2)/2=(222-170-2a2)/2=157-a2

 p2+q2+a2=170 より 3a2p2+3a2q2+3a4=510a2 、3・772+(157-a2)2+3a4=510a2

 4a4-824a2+42436=0 、a4-206a2+10609=0 、(a2-103)2=0 、a2=103 、

 1辺の長さは、2|a|=2√103 です。


[解答2]

 (1+i√3)/2=w とすれば 1/w=(1-i√3)/2 は w の共役複素数で、w+1/w=1 です。

 また、w3=-1 より、w2=-1/w ,1/w2=-w です。

 次に、複素平面上で、有向線分ABを表す複素数を z ,z の共役複素数を Z とします。

 有向線分ACを表す複素数は zw になり、A(4) とすれば、B(4+z),C(4+zw) になります。

 |4+z|=18 を 2乗して、(4+z)(4+Z)=324 、16+4(z+Z)+|z|2=324 、z+Z=77-|z|2/4 、

 z2+2|z|2+Z2=5929-77|z|2/2+|z|4/16 ……(1) 、

 |4+zw|=22 を 2乗して、(4+zw)(4+Z/w)=484 、16+4(zw+Z/w)+|z|2=484 、zw+Z/w=117-|z|2/4 、

 -z2/w+2|z|2-Z2w=13689-117|z|2/2+|z|4/16 ……(2) 、

 (z+Z)-(zw+Z/w)=(77-|z|2/4)-(117-|z|2/4) 、z/w+Zw=-40 、

 -z2w+2|z|2-Z2/w=1600 ……(3) 、

 (1)+(2)+(3) より、z2(1-1/w-w)+6|z|2+Z2(1-w-1/w)=21218-97|z|2+|z|4/8 、

 |z|4/16-103|z|2/2+10609=0 、(|z|2/4-103)2=0 、|z|2/4=103 、|z|=2√103 です。


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 同心円の中心を O とします。

 △OAB を B を中心に回転し BA を BC に重ね O の移動先を D とします。

 60゚の回転なので,△BDO は正三角形で,

 DO=BO=18,となり,D は半径 18 の同心円上の点です。

 しかも,CD+DO=AO+DO=4+18=22=CO なので,C,D,O は同一直線上にあります。

 そこで,△DBC において,∠CDB=180゚-∠BDO=120゚,DC=4,DB=18,より,

 △ABC の1辺は BC=√(DC^2+DB^2+DC・DB)=√412=2√103, になります。


[解答4]

 同心円の中心を O とすれば、OA=4,OB=18,OC=22 ですので、OA+OB=OC になります。

 BC=CA=AB なので、OA・BC+OB・CA=OC・AB になり、トレミーの定理の逆により、

 O,B,C,Aは同一円周上にあり、∠BOC=∠BAC=60゚ ,∠COA=∠CBA=60゚ になります。

 ここで、2辺の長さが a,b で 間の角が 60゚ または 120゚ の三角形は、

 底辺を a とすれば 高さは b(√3)/2 なので 面積は ab(√3)/4 です。

 △ABCの1辺を x とすれば、△ABC=△OBC+△OCA-△OAB だから、

 x2(√3)/4=18・22(√3)/4+22・4(√3)/4-4・18(√3)/4 、

 x2=18・22+22・4-4・18=412 、x=2√103 です。

 なお、△ABC=18・22(√3)/4+22・4(√3)/4-4・18(√3)/4=412(√3)/4=103√3 です。

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Comments 17

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ひとりしずか  
No title

アサガオ元気ですね~
当地は朝の気温が一ケタ続きで花が小さくなり終わりかけてきています。

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
アサガオもいろいろあるんでしょうか、凄い元気な花を
まだ見かけますね~
秋の七草に「キキョウ」とあるのはアサガオの事だって
きいたことありますが納得できそう。
キキョウはもう見かけませんから。
ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
涼しげな色の朝顔、まだ咲いてる姿を見ると元気をもらいます。
先日、小さな向日葵を見つけて嬉しくなりましたよ。
昨夜は十三夜でしたが、曇り空で全然見ることが
できなかったです。比較的晴れて見えるという
お月さまだったのに。。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

朝顔っていいですね。
私の街ではあまり見られないです。
気温が少ないから咲かせるのに難しくて・・・
清々しい色の朝顔の写真に、ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
琉球アサガオ この花が出回りだした頃のこの花の名前です
今はなんと呼ばれているのでしょうね

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんにちわ。
秋のお花が咲いて来ている中、朝顔もまだまだ見れるのですね。(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
uch*n*anさんの[解答3]がこの場合エレガントですねぇ☆
3辺が等しいので、△OAB≡△DCBが言えるわけですね♪
初等幾何だけでスマートにイケてますね!!

数値設定が異なる場合は,[解法1,2]にならざるを得ないのでしょうか知らん?…
ちなみにわたしは…△ABCの外心を(x,y), A=(4,0)と置いて計算しましたぁ…^^;…Orz~

スモークマン  
No title


あれ…^^;
△OAB≡△DCBの理由がおかしかった…?
よくわからなくなりました Orz

[解答4]
同心円上なら…
角AOB=120° から、
AB^2=4^2+18^2-2*4*18*(-1/2)=412
と求められますね☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
其方の気温は、こちらでの晩秋に当たると思います。
朝顔の季節ではないですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
キキョウは確かにもうほとんど見かけません。
朝顔もだんだん少なくなってきましたが、琉球朝顔だけは元気です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
秋が深まり、月が綺麗な季節ですね。
私も昨日は見られませんでしたが、今日は綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
このアサガオは琉球朝顔といって、沖縄に多いそうです。
当方でも、最近はよく見かけるようになりました。
朝顔があまり見られないのは、寂しいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今も琉球朝顔と言われます。ノアサガオの名前もあります。
また、多年草なので、宿根アサガオとも呼ばれているようです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この琉球朝顔は花期が非常に長く、6~11月くらいです。
朝顔じたいがもともと秋の季語です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
数値設定が異なる場合はのために[解法1][解法2]も示しました。
[解答4]は仰る通り、余弦定理も使えますが、
中学生の知識で分かる面積で解答を作りました。

ひとりしずか  
No title

オーシャンブルーはノアサガオの園芸品種とありましたが
琉球アサガオとは違うのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございます。
ノアサガオは、沖縄に多いので琉球アサガオとも呼ばれ、
多年草であるので宿根アサガオとも呼ばれます。
オーシャンブルーと名付けられたのは、朝は青いからでしょう。
時間がたつにつれてだんだん赤紫色になっていきます。