FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1034] 凸多角形の対角線2本

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1034] 凸多角形の対角線2本


 凸47角形の対角線の数をNとするとき、N=?

 凸47角形の対角線N本のうち、

 凸47角形の内部や頂点で交わらない2本の選ぶ方法がM通りあるとして、M/N=?


[解答1]

 一般化して、凸n角形とします。

 対角線の端点として1つの頂点の決め方は n 通り、

 その頂点と両隣の頂点以外の頂点をもう1つの端点とすればよいので、n-3 本、

 これは対角線を2回ずつ数えることになるので、N=n(n-3)/2 です。

 頂点で交わる2本の対角線の選び方は、1つの頂点を決めれば、

 その頂点を端点とする n-3 本の対角線から2本を選べばよいので、

 n・n-32=n(n-3)(n-4)/2=(n-4)N 通り、

 内部で交わる2本の対角線の選び方は、頂点を4個選べば交わるように2本を描けますので、

 n4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24=(n-1)(n-2)N/12 通り、

 2本を選ぶ総数は N2=N(N-1)/2 通りですので、

 内部や頂点で交わらない場合の数Mは、M=N(N-1)/2-(n-4)N-(n-1)(n-2)N/12 になり、

 M/N=(N-1)/2-(n-4)-(n-1)(n-2)/12=6(N-1)/12-12(n-4)/12-(n-1)(n-2)/12

  =(6N-6-12n+48-n2+3n-2)/12={3n(n-3)-n2-9n+40}/12

  =(2n2-18n+40)/12=(n2-9n+20)/12=(n-4)(n-5)/6 です。

 n=47 の場合、N=47(47-3)/2=1034 ,M/N=(47-4)(47-5)/6=301 です。


[解答2]

 一般化して、凸n角形とします。

 対角線の端点として1つの頂点の決め方は n 通り、

 その頂点と両隣の頂点以外の頂点をもう1つの端点とすればよいので、n-3 本、

 これは対角線を2回ずつ数えることになるので、N=n(n-3)/2 です。

 次に、M/N は対角線1本についての内部や頂点で交わらない対角線の本数ですので、

 凸n角形の頂点1個を固定し、n-3 本の対角線について考察すればよいことになります。

 固定する点を 1 として左回りに 2,3,4,……,n と番号をつけ、

 対角線を「小さい番号⇒大きい番号」で表すと、

 対角線 1⇒a 対して 対角線 b⇒c (a<b<c) を考えれば、

 a,b,c-1 の決め方は 3 から n-1 までの n-33 通りあり、

 M/N=n-33/(n-3)=(n-4)(n-5)/6 です。

 なお、a>b>c のときは 対角線 c⇒b 対して 対角線 a⇒1 と考え、ここでの対象外とします。

 n=47 の場合、N=47(47-3)/2=1034 ,M/N=(47-4)(47-5)/6=301 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

糸くずのようなシベがなんとも魅力!

ニリンソウ  
No title

ヒヨドリ花か、フジバカマにしたら白っぽいかな?
秋の野草は清楚ですね。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
フジバカマでしょうか

今日アサギマダラを求めてフジバカマ見てきましたが今年は花が少なかったです

アサギマダラの姿も見かけることは出来ませんでした

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]の発想やっとトレースできましたぁ ^^;v
スマートね☆
ちなみにわたしゃ…数えまくりました…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
フジバカマも同じような蕊ですね。
綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
フジバカマも白いのがありますが、これは仰る通り、ヒヨドリバナです。
区別しにくいですが、葉が違うようです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
葉を見ないとヒヨドリバナかフジバカマか分かりませんね。
アサギマダラが吸蜜していればいいのですが、ここでは見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
M/N だから、このような方法で解くことができます。
もちろん、M はこれに N を掛ければ出ますよね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
お花を随分撮っていませんが、はやり、癒されます。
がんばって撮りに行きましょう(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花の写真は撮るときに癒され、アップするときにも癒されます。
みなさんにも見て頂きたく、アップしています。

樹☆  
No title

わたしもフジバカマかなと思いました。
この時期、アサギマダラのマーキングを今夜テレビで
見たばかりだからかもしれませんね。

今日も暑かったです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
フジバカマとヒョドリバナの区別は難しいですね。
白花の場合は葉を見ないと分からないです。