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[答1035] 直角三角形の中の正方形

ヤドカリ

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[答1035] 直角三角形の中の正方形


 BC=1 ,CA<1,∠C=90゚ の △ABCの 辺AB上に P,Q ,辺BC上に R ,辺CA上に S をとり、

 正方形PQRSをつくると、面積比が △ABC:正方形PQRS=25:8 になります。

 このとき、AB=? また、∠B=?


[解答1]

 CA=x,AB=y,RC=k とすれば、0<x<1<y です。

 △ABC∽△SRC より、AB:SR=BC:RC 、y:SR=1:k 、SR=ky 、よって、RQ=ky になり、

 △ABC∽△RBQ より、AB:RB=AC:RQ 、y:(1-k)=x:ky 、ky2=x-kx 、k(y2+x)=x です。

 △ABC:正方形PQRS=x/2:k2y2=x(y2+x)2/2:k2(y2+x)2y2=x(y2+x)2/2:x2y2=(y2+x)2/2:xy2

 (y2+x)2/2:xy2=25:8 になり、

 4(y2+x)2=25xy2 、4y4+8xy2+4x2=25xy2 、4y4-17xy2+4x2=0 、(4y2-x)(y2-4x)=0 、

 ここで、4y2>1>x だから、y2-4x=0 、

 三平方の定理により、y2=1+x2 だから、x2-4x+1=0 、0<x<1 に注意して、x=2-√3 、

 y2=4x=8-4√3=8-2√12 だから、y=√6-√2 、AB=√6-√2 です。

 次に、ACの延長上に AD=2 となる点Dをとれば、BC=1,CD=√3,DB=2 だから、

 ∠BDC=30゚,∠DBC=60゚,∠A=∠DBA=75゚ になり、∠ABC=15゚ です。


[解答2]

 ∠B=θ ,正方形の1辺の長さを L とします。

 BR=L/sinθ,RC=Lcosθ だから、L(1/sinθ+cosθ)=1 です。

 BC=1,BQ=L/tanθ,RC=Lcosθ,SP=L より、BC:BQ:RC:SP=1/L:1/tanθ:cosθ:1 、

 △ABC∽△RBQ∽△SRC∽△ASP だから、△ABC:△RBQ:△SRC:△ASP=1/L2:1/tan2θ:cos2θ:1 、

 △ABC:(△RBQ+△SRC+△ASP)=1/L2:(1/tan2θ+cos2θ+1)

  =(1/sinθ+cosθ)2:(1/sin2θ-1+cos2θ+1)=(1+sinθcosθ)2:(1+sin2θcos2θ)

  =(2+sin2θ)2:(4+sin22θ)

 △ABC:正方形PQRS=(2+sin2θ)2:{(2+sin2θ)2-(4+sin22θ)}

  =(4+4sin2θ+sin22θ):4sin2θ=25:8 だから、

  (4+4sin2θ+sin22θ):sin2θ=25:2 、2(4+4sin2θ+sin22θ)=25sin2θ 、

 2sin22θ-17sin2θ+8=0 、(sin2θ-8)(2sin2θ-1)=0 、sin2θ=1 、2θ=30゚ 、∠B=θ=15゚ です。

 AB=1/cos15゚=4/(√6+√2)=√6-√2 です。


[解答3]

 0<r<1 ,0<m<1 として、xy平面で、B(-1,0),C(0,0),R(-r,0) ,

 AB:y=m(x+1) とすれば、 RS:y=m(x+r) なので、A(0,m),S(0,mr) になります。

 RS2=r2+m2r2=r2(m2+1) 、

 R(-r,0) と m(x+1)-y=0 の距離は、RQ=|m(-r+1)|/√(m2+1) 、

 RS=RQ より r√(m2+1)=|m(-r+1)|/√(m2+1) 、r(m2+1)=m(-r+1) です。

 また、面積比は 1・m/2:r2(m2+1)=25:8 、4m=25r2(m2+1) 、

 4m=25rm(-r+1) 、25r2-25r+4=0 、(5r-4)(5r-1)=0 、r=4/5,1/5 になります。

 r(m2+1)=m(-r+1) より、m2-(1/r-1)m+1=0 ですので、

 r=4/5 のとき、m2-(1/4)m+1=0 ですので、実数 m は存在せず、 

 r=1/5 のとき、m2-4m+1=0 ですので、m=2-√3 です。 

 tan∠B=m=2-√3 より ∠B=15゚ 、

 AB2=1+m2=1+(2-√3)2=8-4√3=(√6-√2)2 、AB=√6-√2 です。


[解答4]

 AC//LR を満たす L を 辺AB上にとります。

 △ASP≡△LRQ ,正方形PQRS=平行四辺形ALRS ,△LBR∽△SRC∽△ABC になるので、

 BR2+RC2:(BR+RC)2=(25-8):25 、

 25(BR2+RC2)=17(BR2+2BR・RC+RC2) 、

 4BR2-17BR・RC+4RC2=0 、(4BR-RC)(BR-4RC)=0 、BR=4RC です。

 次に、BCに関して Lと対称な点を M,MからABにおろした垂線を MNとすれば MN=2QR です。

 また、△SRC∽△MBR で、相似比は 1:4 なので、MB=4SR=4QR=2MN 、

 よって、2∠B=∠MBN=30゚ になり、∠B=15゚ です。

 次に、ACの延長上に AD=BD となる点Dをとれば、

 ∠DBC=60゚ で BC=1 だから、AD=BD=2 ,CD=√3 ,AC=2-√3 、

 AB2=BC2+AC2=1+(2-√3)2=8-4√3=(√6-√2)2 、AB=√6-√2 です。

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Comments 15

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!
此も酔芙蓉の花でしょうか!?
今の時期に咲く芙蓉は酔芙蓉の花が多い様ですね♪

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

水色の空に淡い色の花びらがやさしいですね~
サキシマフヨウというのもあるようですが~
今年散歩でみかけたのはムクゲばかりでした。

uch*n*an  
No title

なるほど。[解答4]は見事ですね。こんな風に解きたかったな。

樹☆  
No title

こんにちは
こちらはまた、雨になりました。
秋空が恋しい。晴れたら夏日だし。。
グチるおばさんのようですね。あはは

きれいな青空に、ほんのり薄紅色の酔芙蓉が
美しいです。蕾もいっぱい。

樹☆  
No title

地震大丈夫ですか?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私も酔芙蓉をよく見ます。最近、植える人が多くなったのでは?と思います。
写真の花はサキシマフヨウで、芙蓉の中では遅い時期まで咲いています。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、サキシマフヨウです。よくご存じですね。
ムクゲはいつまでも咲いていますね。もう終わりのようですが。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
高等な数学でも解けるけど、うまく解けば中学程度の知識で解けるような
そんな問題がなかなか思いつかないのですが、本問はラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは晴れる予報でしたが、どんよりと曇った1日でした。
ところで、写真の花はサキシマフヨウで、
今の時期に見頃を迎えるフヨウの中では珍しいものです。
地震の方は、私は移動中で気づかなかったのですが、何事もありませんでした。
でも、この頃の地震の多さは怖いですよね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
立式してPCに計算させちゃいましたが…^^;
逆モーションで角度がわかれば...それが楽でしたわね ^^☆
[解法4]…熟読玩味ぃ~Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
どちらが先に求まるかは解き方によりますね。
「熟読玩味」してくださいませ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
地震、こちらでも少し搖れましたから、どこで起きるかわかりませんね。
ほんとうに、自然は怖いです。

青空に、きれいですね~(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
空をバックに花を撮ると綺麗だと思います。
曇り空に白い花は見栄えしませんが……。

ニリンソウ  
No title

さぁ~この花は何だろう?
柔らかなピンクに一重で素敵ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この花はサキシマフヨウです。
フヨウの中では遅い時期まで咲いてくれるのが嬉しいです。