FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1036] 三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1036] 三角形の面積


 △ABCの 辺BC上に点D,辺CA上に点E,辺AB上に点F があり、

 BEとCFの交点をP,CFとADの交点をQ,ADとBEの交点をR とします。

 △PCE=△QAF=△RBD=108,△PQR=28 のとき、△ABCの面積を S とすれば、S=?


[解答]

 BD=aBC,CE=bCA,AF=cAB (0<a<1,0<b<1,0<c<1) とします。

 メネラウスの定理により、(BP/PE)(EC/CA)(AF/FB)=1 、PE/BP=(EC/CA)(AF/FB)=bc/(1-c) 、

 PE/BE=bc/(1-c+bc) なので、△PCE/△BCE=bc/(1-c+bc) 、また、△BCE/△ABC=b 、

 よって、△PCE/S=b2c/(1-c+bc) になり、

 同様に、△QAF/S=c2a/(1-a+ca) ,△RBD/S=a2b/(1-b+ab) です。

 △PCE/S=△QAF/S=△RBD/S だから、b2c/(1-c+bc)=c2a/(1-a+ca)=a2b/(1-b+ab) 、

 ab2c/(a-ca+abc)=c2a/(1-a+ca) なので加比の理により、この値は (ab2c+c2a)/(1+abc) と等しく、

 同様に、(ab2c+c2a)/(1+abc)=(abc2+a2b)/(1+abc)=(a2bc+b2c)/(1+abc) 、

 ab2c+c2a=abc2+a2b=a2bc+b2c 、b+c/b=c+a/c=a+b/a になります。

 b+c/b=c+a/c=a+b/a=k とおけば、

 b2+c=bk 、b2-bk=-c 、k-bk-1+b2=k-c-1 、

 (1-b)(k-b-1)=k-c-1 、同様に、(1-c)(k-c-1)=k-a-1 ,(1-a)(k-a-1)=k-b-1 、

 辺々乗じて、(1-b)(k-b-1)(1-c)(k-c-1)(1-a)(k-a-1)=(k-c-1)(k-a-1)(k-b-1) 、

 (k-a-1)(k-b-1)(k-c-1){(1-a)(1-b)(1-c)-1}=0 、

 ここで、(1-a)(1-b)(1-c)<1 なので、(k-a-1)(k-b-1)(k-c-1)=0 、

 k=a+1 または k=b+1 または k=c+1 です。

 k=a+1 のとき、a+b/a=k より a+b/a=a+1 、a=b 、b+c/b=k より a+c/a=a+1 、a=c 、

 同様に、k=b+1 ,k=c+1 のときも a=b=c になります。

 ここで、△PBC=△BCE-△PCE だから、

 △PBC/S=△BCE/S-△PCE/S=b-b2c/(1-c+bc)=a-a3/(1-a+a2)=a(1-a)/(1-a+a2) 、

 同様に、△PCA/S=△PAB/S=a(1-a)/(1-a+a2) 、

 △PQR=△ABC-△PBC-△PCA-△PAB より、

 △PQR/S=△ABC/S-△PBC/S-△PCA/S-△PAB/S=1-3a(1-a)/(1-a+a2)=(1-2a)2/(1-a+a2) 、

 △PCE/S=b2c/(1-c+bc)=a3/(1-a+a2) ですので、△PCE:△PQR=a3:(1-2a)2 です。

 本問では、108:28=a3:(1-2a)2 、7a3=108a2-108a+27 、(7a-3)(a2-15a+9)=0 、

 (3/a-7)(9/a2-15/a+1)=0 、1/a>1 だから、1/a=7/3,(5+√21)/6 です。

 △PCE/S=a3/(1-a+a2) より、S=(△PCE)(1-a+a2)/a3=108(1/a3-1/a2+1/a) ですので、

 1/a=7/3 のとき、S=108(343/27-49/9+7/3)=1372-588+252=1036 、

 1/a=(5+√21)/6 のとき、1/a2=(23+5√21)/18 、1/a3=(55+12√21)/27 、

 S=108{(55+12√21)/27-(23+5√21)/18+(5+√21)/6}

  =4(55+12√21)-6(23+5√21)+18(5+√21)=172+36√21 、

 よって、S=1036,172+36√21 です。

.

スポンサーサイト



Comments 17

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
空気が冷たい朝を迎えました。
今朝の画像が見えにくいのですが・・・・
今日もいい一日でありますように。

樹☆  
No title

おはようございます

ん?わたしにも見えません。
はだかの王様ではありませんよ。笑

ひとりしずか  
No title

どうしたんでしょうね~

ひとりしずか  
No title

画像出ましたネ
白い花びら清楚

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
特殊化して考えましたが...その根拠もなく…^^;
見慣れた左の図しか頭になく...右の図は初見でしたが...たしかにあり得ますねぇ ^^;☆
で、そこからも長いジャーニーを続けやっと目的地に到達できましたぁ ^^;♪
よくこんな問題を考えなはりますなぁ Orz~v

uch*n*an  
No title

うーむ,この問題はやはりかなり手ごわいですね。
私は最後の最後に △PQR が重なる場合を見逃して一発正解を逃しましたが,
それよりも,前半の a = b = c を示すこと,後半の3次方程式を解いて答えを求める計算,
に苦労しました。体力も気力も衰えつつある昨今に我ながらよく解けたものだと思います。
特に,a = b = c を示す式変形は結局できず,当たりを付けて証明する,という綱渡りでした。
この手の計算は高校1年の頃に散々やった記憶はありますが,今となってはなかなか。
[解答]の式変形を見ても,よく思い付くなぁ,という感じです。
加比の理の使い方がうまいですね。勉強にはなりましたが,使いこなせるかなぁ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
十月桜をアップしたのですが、不思議ですね。
私には見えていますので、Yahoo!さんに何かあったのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
十月桜をアップしました。
「はだかの王様」に桜が驚いたのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私には見えなかった時の状態が分からないのですが、
9時過ぎには十月桜が見られたのですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
右の図の白と水色の部分の色を逆にすれば左の図の鏡像になりますね。
問題に図を入れなかったのは、右の図も思いついてほしいという願いからです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
b²c/(1-c+bc)=c²a/(1-a+ca)=a²b/(1-b+ab) から a=b=c を導く、
証明問題でもよかったですね。
自分でも「よく思い付いたなぁ」と思いますが、
作問のとき不思議と思いつきました。

樹☆  
No title

十月桜だったのですね^^
大好きなお花です。今はちゃんと見えます。
ありがとうございます。ほんとに可憐です。

今夜は寒いです。裸の王様風邪引かないでしょうか。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントをありがとうございます。
春の桜と違って、寂しい咲き方ですが、
咲く期間が長いのがいいですね。

ひとりしずか  
No title

やっぱり十月桜でしたか!(そうかな~と思ったのですが自信が無くて)
さくらの公園に行って見たのですが、今年は1輪も咲いていませんでした。

ニリンソウ  
No title

見えたよ!
今頃の桜もいいね~近所の木も咲いてるかな。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、何度もコメントをありがとうございます。
寂しい感じもする十月桜ですが、
1輪も見られないのはもっと寂しいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、再度のコメントをありがとうございます。
春の桜と正反対の季節ですので、桜が恋しい時期でしょうか。
私は毎年見ていますので、恵まれていますね。