[答1037] 等脚台形の辺の長さ
[答1037] 等脚台形の辺の長さ
AD//BC,∠B=∠C=60゚ の 台形ABCDの辺BC上に点Pがあって、
BP=30,PC=40,∠APD=150゚ のとき、AD=?
[解答1]
AD=x ,∠DAP=∠APB=α ,∠ADP=∠DPC=β とすれば α+β=30゚ です。
正弦定理より、
△ABPにおいて AP/sin60゚=30/sin(120゚-α) 、AP=(15√3)/cos(30゚-α)=(15√3)/cosβ 、
△CDPにおいて DP/sin60゚=40/sin(120゚-β) 、DP=(20√3)/cos(30゚-β)=(20√3)/cosα 、
△PDAにおいて x/sin150゚=AP/sinβ=DP/sinα 、2x=AP/sinβ=DP/sinα 、
2x=(15√3)/cosβ/sinβ=(20√3)/cosα/sinα 、x=(15√3)/sin2β=(20√3)/sin2α 、
sin2α=(20√3)/x ,sin2β=(15√3)/x になり、
cos2α={√(x2-1200)}/x ,cos2β={√(x2-675)}/x です。
cos(2α+2β)=cos60゚=1/2 ですので、
cos2αcos2β-sin2αsin2β=1/2 、cos2αcos2β=sin2αsin2β+1/2 、
{√(x2-1200)}{√(x2-675)}/x2=900/x2+1/2 、
{√(x2-1200)}{√(x2-675)}=900+x2/2 、
(x2-1200)(x2-675)=(900+x2/2)2 、
x4-1875x2+810000=810000+900x2+x4/4 、
3x4/4=2775x2 、x2=3700 、x=10√37 です。
[解答2]
BAの延長と CDの延長の交点を O とすれば、△OBC,△OADはともに正三角形になり、
中心が O で半径が OA である円を描けば、∠APD=300゚/2 より Pは この円周上にあり、
AD=OP です。
更に、BCの中点を M とすれば、BM=(30+40)/2=35 、OM=35√3 、PM=35-30=5 です。
三平方の定理より、OP2=(35√3)2+52=3700 、AD=OP=10√37 です。
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