[答1037] 等脚台形の辺の長さ

[答1037] 等脚台形の辺の長さ


　AD//BC，∠B＝∠C＝60ﾟ の 台形ABCDの辺BC上に点Pがあって、

　BP＝30，PC＝40，∠APD＝150ﾟ のとき、AD＝？


[解答1]

　AD＝x ，∠DAP＝∠APB＝α ，∠ADP＝∠DPC＝β とすれば α＋β＝30ﾟ です。

　正弦定理より、

　△ABPにおいて AP/sin60ﾟ＝30/sin(120ﾟ－α) 、AP＝(15√3)/cos(30ﾟ－α)＝(15√3)/cosβ 、

　△CDPにおいて DP/sin60ﾟ＝40/sin(120ﾟ－β) 、DP＝(20√3)/cos(30ﾟ－β)＝(20√3)/cosα 、

　△PDAにおいて x/sin150ﾟ＝AP/sinβ＝DP/sinα 、2x＝AP/sinβ＝DP/sinα 、

　2x＝(15√3)/cosβ/sinβ＝(20√3)/cosα/sinα 、x＝(15√3)/sin2β＝(20√3)/sin2α 、

　sin2α＝(20√3)/x ，sin2β＝(15√3)/x になり、

　cos2α＝｛√(x²－1200)｝/x ，cos2β＝｛√(x²－675)｝/x です。

　cos(2α＋2β)＝cos60ﾟ＝1/2 ですので、

　cos2αcos2β－sin2αsin2β＝1/2 、cos2αcos2β＝sin2αsin2β＋1/2 、

　｛√(x²－1200)｝｛√(x²－675)｝/x²＝900/x²＋1/2 、

　｛√(x²－1200)｝｛√(x²－675)｝＝900＋x²/2 、

　(x²－1200)(x²－675)＝(900＋x²/2)² 、

　x⁴－1875x²＋810000＝810000＋900x²＋x⁴/4 、

　3x⁴/4＝2775x² 、x²＝3700 、x＝10√37 です。


[解答2]

　BAの延長と CDの延長の交点を O とすれば、△OBC，△OADはともに正三角形になり、

　中心が O で半径が OA である円を描けば、∠APD＝300ﾟ/2 より Pは この円周上にあり、

　AD＝OP です。

　更に、BCの中点を M とすれば、BM＝(30＋40)/2＝35 、OM＝35√3 、PM＝35－30＝5 です。

　三平方の定理より、OP²＝(35√3)²＋5²＝3700 、AD＝OP＝10√37 です。

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