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[答1038] 16進法が10進法の倍数

ヤドカリ

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[答1038] 16進法が10進法の倍数


 3200(16)=12800 は 3200 の倍数になります。

 3200 のように、10進法の4桁の自然数で、16進法として扱えば その倍数になるものの最小数は?

 また、最大数は?


[解答]

 千の位を a ,百の位を b ,十の位を c ,一の位を d とします。

 当然 a,b,c,d は 0 から 9 までの数で、a≧1 です。

 n=(163a+162b+16c+d)/(103a+102b+10c+d) とすれば、

 n=(4096a+256b+16c+d)/(1000a+100b+10c+d) が自然数になればよいことになります。

 n=3+(1096a-44b-14c-2d)/(1000a+100b+10c+d)

 n≧3+(1096・1-44・9-14・9-2・9)/(1000a+100b+10c+d)>3 、

 n=5-(904a+244b+34c+4d)/(1000a+100b+10c+d)<5 ですので、

 n=4 、n=4+(96a-144b-24c-3d)/(1000a+100b+10c+d) だから、

 96a-144b-24c-3d=0 、c=4a-6b-d/8 になり、d は8の倍数、d=0,8 です。

 d=0 のとき c は偶数だから、0≦4a-6b≦8 、(2a-4)/3≦b≦2a/3 、

  1000a+100b+10c+d の最小と最大を求めればよいので、

  a=1 とすれば -2/3≦b≦2/3 、b=0 、c=4a-6b=4 、1000a+100b+10c+d=1040 、

  a=9 とすれば 14/3≦b≦6 、b=6 として、c=4a-6b=0 、1000a+100b+10c+d=9600 、

 d=8 のとき c は奇数だから、1≦4a-6b-1≦9 、(2a-5)/3≦b≦(2a-1)/3 、

  1000a+100b+10c+d の最小と最大を求めればよいので、

  a=1 とすれば -1≦b≦1/3 、b=0 、c=4a-6b-1=3 、1000a+100b+10c+d=1038 、

  a=9 とすれば 13/3≦b≦17/3 、b=5 、c=4a-6b-1=5 、1000a+100b+10c+d=9568 、

 求める最小数は 1038 , 最大数は 9600 です。

 なお、例示された 3200 で、3200×2=6400 ,3200×3=9600 は繰り上がりがありません。

 6400,9600 も条件に適することになり、最大数は 9600 以上であることが最初から分かります。


[参考]

 最小と最大を求めるので a=1,9 としましたが、a=1,2,……,9 として書きだせば、

 d=0 のとき (2a-4)/3≦b≦2a/3 、c=4a-6b 、

 100a+10b+c=104,208,212,316,320,424,528,532,636,640,744,848,852,956,960 、

 d=8 のとき (2a-5)/3≦b≦(2a-1)/3 、c=4a-6b-1 、

 100a+10b+c=103,207,211,315,419,423,527,531,635,739,743,847,851,955 、

 全部書きだすと、1000a+100b+10c+d の値は、次の29個です。

  1038,1040,2078,2080,2118,2120,3158,3160,3200,4198,
  4238,4240,5278,5280,5318,5320,6358,6360, 6400,7398,
  7438,7440,8478,8480,8518,8520,9558,9560,9600

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

シュウメイギクまだきれいに咲いているんですね!
庭のシュウメイギク昨日10輪残り咲いていたのですが
今朝3℃という気温にすっかり萎れています。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
真っ白の秋明菊 清楚な感じで大好きです

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
(4096 a+256 b+16 c+d)/(1000 a+100 b+10 c+d)は4しかないと思われ…あとは、PCまかせの計算で求めましたぁ Orz…
a=1のときのもの Min
a=9のときのものMax

手計算でも上手く解けるものですのねぇ☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらではまだ時々見かけます。
白いシュウメイギクが揺れる姿に爽やかさを感じます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
真っ白の秋明菊は 本当に清楚な感じがしますね。
先日訪れた真田庵で撮ってあったのを思い出してアップしました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
PCに頼らず、工夫して正解を導いてほしいものです。

樹☆  
No title

あっ・・白いシュウメイギク
この形といいすごく好きなお花です。
清楚ってことばが似合います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントをありがとうございます。
このシュウメイギクは真田庵で見たものです。
真田家の人たちも見たのでしょうか。