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[答1039] 巴戦の確率

ヤドカリ

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[答1039] 巴戦の確率


 互角の実力をもった A,B,Cの3人が巴戦で優勝者を決めます。

 最初にAとBが対戦し、第2戦からは前の対戦の勝者と残りの者が対戦し、

 これを続けて最初に2連勝した者を優勝とします。

 引き分けはなく、対戦による疲労で 2連戦の2戦目の対戦で勝つ確率が p になるものとして、

 Cが優勝する確率が 0.332 のとき、p の値は?


[解答1]

 Cが優勝するには、1戦目ABの何れが勝ってもよいが、仮にAが勝つとすれば、

 2戦目にCがAに勝ち、3戦目にCがBに勝てば優勝、CがBに負ければ、4戦目にAがBに勝ち、

 5戦目にCがAに勝ち、6戦目にCがBに勝てば優勝、CがBに負ければ、7戦目にAがBに勝ち、

 ………… で、Cが優勝するのは、3,6,9,12,15,……戦目です。

 3戦目に優勝する確率は、(1-p)p 、

 それ以後は、途中の対戦はすべて 勝ち残っている者が負けてくれないといけないので、

 公比は (1-p)3 になります。

 よって、(1-p)p/{1-(1-p)3}=(1-p)/(3-3p+p2)=0.332 、

 0.332(3-3p+p2)=1-p 、83(3-3p+p2)=250(1-p) 、

 83p2+p-1=0 、p=(-1+3√37)/166=0.10390…… です。


[解答2]

 1つの対戦が終了した時点で優勝が決まらないときに、

 勝った者が優勝する確率を a ,負けた者が優勝する確率を b ,

 対戦待ちで控えていた者が優勝する確率を c とすれば、Cが優勝する確率は c です。

 勝った者は 次の対戦で勝てば優勝、負けても優勝の可能性が残り、a=p+(1-p)b 、

 対戦待ちの者は 勝てば次の対戦があり、負ければ優勝できませんので、c=(1-p)a 、

 また、対戦を続ければ誰かが優勝しますので、a+b+c=1 です。

 (1-p)a+(1-p)b+(1-p)c=1-p だから、c+a-p+(1-p)c=1-p 、a+(2-p)c=1 、

 (1-p)a+(1-p)(2-p)c=1-p 、c+(1-p)(2-p)c=1-p 、(3-3p+p2)c=1-p 、

 0.332(3-3p+p2)=1-p 、83(3-3p+p2)=250(1-p) 、

 83p2+p-1=0 、p=(-1+3√37)/166=0.10390…… です。


[参考]

 c=(1-p)/(3-3p+p2) で、

 対戦による疲労がないときは p=1/2 だから c=2/7 、これはよく出題されます。

 また、0<p<1 のとき、c=(1-p)/(3-3p+p2)<(1-p)/(3-3p)=1/3 ですので、

 初戦で対戦のないCは必ず不利になります。

 c=1/3 になるのは p=0 のときですが、p=0 の場合は誰も2連勝できません。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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美しい翅模様!

ゆうこ つれづれ日記  
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こんにちは~~~
蝶々、道東でもブログでもよく見る蝶々ですけど
名前は覚えられなくて忘れました・"(>0<)"・。
美しい蝶なので人気がありますよ~
ナイス☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ランタナと色を競って蝶がきれいですね~(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
ランタナの花にツマグロヒョウモン(?_?)でしょうか
蝶の姿が見れるのももう暫くの間ですネ
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
設定が少し違うだけで...面倒な計算になりますのねぇ ^^;

相撲で調べたら…4人、5人同率のときもあったらしいですね…^^
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1312208818

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
蝶の模様は美しいと私も思います。
私は好きなのはアサギマダラですが、今年はあまり出会えませんでした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この蝶はツマグロヒョウモン♀です。
もともと関西以南の蝶ですが、
だんだん北の方にも分布するようになってきたそうです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ランタナはもう実が黒くなってきていますが、
咲いている花はカラフルです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ツマグロヒョウモン♀です。
だんだん蝶を見かける機会が少なくなってきました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
設定で、実力差をつけると複雑なことになります。
相撲では「互角の実力をもった」はあり得ないですね。

樹☆  
No title

ランタナのお花の実がかわいいですね。
もう・・黒くなってます。
わたしもアサギマダラ好きです。
日本列島を縦断、さらに南の沖縄や台湾まで
2200㌔㍍以上の旅する様子をTVで見て
さらに好きになりました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ランタナは花期が長い楽しませてくれる花ですね。
ツマグロヒョウモンもそれを知っているのでしょうか。