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[答1040] ●を1個含む長方形

ヤドカリ

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[答1040] ●を1個含む長方形


 図は 8×8 の方眼の左上のマスから右下のマスまで●印をつけたもので、

 面積が2マス分以上で、●を1個だけ含む長方形は全部で 336個あります。

 では、 25×25 の方眼の左上のマスから右下のマスまで●印をつけた図に

 面積が2マス分以上で、●を1個だけ含む長方形は全部で何個?


[解答1]

 左上から右下の●の並びを対角線ということにします。

 左上からk番目の●を含む長方形について、

 対角線の右上の長方形は 一番上の決め方は k 通り,一番右の決め方は n+1-k 通り、

 1×1 の正方形を除いて k(n+1-k)-1 個で、右下の長方形の個数も同じ、

 対角線をまたぐ横長の長方形は 一番左の決め方は k-1 通り,一番右の決め方は n-k 通り、

 (k-1)(n-k) 個で、対角線をまたぐ縦長の長方形の個数も同じ、

 よって、2{k(n+1-k)-1+(k-1)(n-k)}=-4k2+4(n+1)k-2(n+1) 個です。

 k=1,2,3,……,n として加えると、

 -4n(n+1)(2n+1)/6+4(n+1)n(n+1)/2-2n(n+1)

  =-2n(n+1)(2n+1)/3+2n(n+1)2-2n(n+1)

  =2n(n+1){-(2n+1)+3(n+1)-3}/3=2n(n+1)(n-1)/3 になります。

 n=8 のときは 2・8・9・7/3=336 個になり、

 本問は n=25 なので、2・25・26・24/3=10400 個です。


[解答2]

 もとの方眼を n×n とします。また、p,qを2以上の自然数とします。

 (1) ●印を1個だけ含む p×q 長方形は左下隅または右上隅に●印のマスがあり、

   右図の左のように、n個の●のうち3個を選べば両方を決められます。

 (2) ●印を1個だけ含む 1×q または p×1 の長方形のうち●印のマスが途中にあるものは、

   右図の中のように、n個の●のうち3個を選べば両方を決められます。

 (3) ●印を1個だけ含む 1×q または p×1 の長方形のうち●印のマスが端にあるものは、

   右図の右のように、n個の●のうち2個を選べば4個を決められます。

 よって、n個の●のうち3個または2個を選べば条件に合う長方形が4個ずつ決まることになります。

 ダミーの●印を1個を追加して3個を選ぶと、ダミーが含まれればもとの●から2個を選ぶことになり、

 その選び方は、n+13 通りです。

 従って、条件を満たす長方形の総数は 4・n+13 個です。

 n=8 のときは 4・93=4・9・8・7/6=336 個になり、

 本問は n=25 なので、4・263=4・26・25・24/6=10400 個です。

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Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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リンドウ
一番いいとき!
花たちにも最高と思われる時があります。

アキチャン  
No title

おはようございます。
お花屋さんのと違って地に咲いているお花をみる機会がありません。
自然さがいいですね(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
リンドウが綺麗ですネ!!
もみじの里のは背が高くて段々に咲く野生のリンドウで開花までもう暫くかかりそうです!!

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]
>ダミーの●印を1個を追加して3個を選ぶと、ダミーが含まれればもとの●から2個を選ぶことになり・・・

やっと了解できましたが...飛躍した発想が何とも言えない醍醐味ですね♪
and...気づけるのが素敵です& 羨ましいです☆^^☆

ニリンソウ  
No title

いい色です、リンドウも陽が当たらないと開きません。
庭のリンドウは上手く立ち上がらず寝ころんだままで
今年は乗せることが出来ません。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
リンドウも形と色のいい花ですね。
綺麗に咲いているときに撮りたいものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花屋さんの花はそれなりに美しいのですが、
私も土の上で生きている花がいいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
もみじの里にリンドウの花が咲いたら、
またブログで見せてほしいものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
nC(r-1)+nCr=(n+1)Cr の証明の1つがこの考え方です。
(n+1)個からr個を選ぶ場合、特定の1個を含む場合と含まない場合です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私は運よく今年も竜胆を見ることが出来ました。
毎年見ている花は、いい状態のものを見たいですね。

樹☆  
No title

こんばんは
リンドウの色合いが、いいですね。
きらっと輝いて見えますよ。

今日は立冬でした。だんだん寒くなりました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
リンドウは形も色も素敵です。
ところで、立冬、明日の天気が崩れた後に寒気が来そうです。