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[答1041] 正方形の総数

ヤドカリ

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[答1041] 正方形の総数


 図は 1×1 の正方形を 1個,3個,5個,……,31個を積み上げたものです。

 この図にある 正方形の総数は 大小合わせて何個?


[解答1]

 [答1010]( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2764.html )の[解答3]のように、

 赤い線の左側の正方形の総数は [(15+1)(15+3)(2・15+1)/24]=372 個,

 右側の正方形の総数は [(16+1)(16+3)(2・16+1)/24]=444 個あります。

 中図の数は、 各マスを左上隅とする赤い線をまたぐ正方形の個数を書き込んたもので、

 この合計が 225個です。

 よって、求める正方形の個数は 372+444+225=1041 個です。


[解答2]

 図の場合 1×1 の正方形が 16段積まれていますが、

 n段積まれている場合の正方形の総数を an として a16 を求めます。

 1×1 の正方形の個数は 1+3+5+……+(2n-1)=(1+2n-1)n/2=n2

 2×2 の正方形の個数は 2+4+6+……+(2n-4)=(2+2n-4)(n-2)/2=(n-1)(n-2) 、

 k≧3 として、k×k の正方形は (n-2)段積まれている場合の (k-2)×(k-2) の正方形と

 右図のように、1:1 に対応しますので、その個数は an-3

 よって、an=an-3+n2+(n-1)(n-2)=an-3+2n2-3n+2 です。

 a1=1 より a4=a1+2・42-3・4+2=23 ,a7=a4+2・72-3・7+2=102 ,a10=a7+2・102-3・10+2=274 ,

 a13=a10+2・132-3・13+2=575 ,a16=a13+2・162-3・16+2=1041 です。


[解答3]

 図の場合 1×1 の正方形が 16段積まれていますが、

 n段積まれている場合の正方形の総数を an として a16 を求めます。

 最下段を含む正方形の個数は、

 1×1 が 31個,2×2 が 28個,3×3 が 25個,……,11×11 が 1個ですので、

 a16-a15=31+28+25+22+19+16+13+10+7+4+1 です。

 このように、ak+1-ak は 初項が 2k+1 ,公差が -3 の等差数列の

 負でない項の和になります。末項は 2k+1 を 3 で割った余りです。

 ここで、ω=(-1+i√3)/2 とすれば ω2=(-1-i√3)/2 で、

 rn=1-(ω2n-ωn)i/√3 とすれば、

 n≡0 (mod 3) のとき rn=1 ,n≡1 (mod 3) のとき rn=0 ,n≡2 (mod 3) のとき rn=2 になり、

 2k+1 を 3 で割った余りは rk になります。

 初項が 2k+1 ,公差が -3 ,末項が rk 等差数列の項の数は (2k+1-rk)/3+1=(2k+4-rk)/3 ですので、

 この数列の和は、(2k+1+rk)(2k+4-rk)/6=(4k2+10k+4+3rk-rk2)/6 、

 ak+1-ak=(4k2+10k+6+3rk-rk2)/6 です。

 Σを k=1 から k=n-1 までの和を表すものとすれば、n≧2 のとき、

 an-a1=Σ(4k2+10k+4+3rk-rk2)/6 になり、

 3rk-rk2=3-3(ω2k-ωk)i/√3-1+2(ω2k-ωk)i/√3+(ω4k-2ω3k+ω2k)/3

  =2-(ω2k-ωk)i/√3+(ωk-2+ω2k)/3=(4-ω2ki√3+ωki√3+ωk+ω2k)/3

  ={4+(1-i√3)ω2k+(1+i√3)ωk}/3=(4-2ω・ω2k-2ω2・ωk)/3=(4-2ω2k+1-2ωk+2)/3

 18an-18a1=Σ(12k2+30k+12+4-2ω2k+1-2ωk+2) 、

 18an=18+Σ(12k2+30k+16)-2Σ(ω2k+1+ωk+2)

 ここで、数列{ω2k+1+ωk+2}は、

 2 ,-1 ,-1 ,2 ,-1 ,-1 ,2 ,-1 ,-1 ,2 ,-1 ,-1 ,…… と続く数列であり、

 初項からの和は、2 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0 ,2 ,1 ,0 ,…… で、

 これは、r2 ,r3 ,r4 ,r5 ,r6 ,r7 ,r8 ,r9 ,r10 ,r11 ,r12 ,r13 ,…… と一致しますので、

 18an=18+2(n-1)n(2n-1)+15(n-1)n+16(n-1)-2rn=18+4n3-6n2+2n+15n2-15n+16n-16-2rn

  =4n3+9n2+3n+2-2rn=(n+2)(4n2+n+1)-2rn

 an=(n+2)(4n2+n+1)/18-rn/9 、

 an が自然数で 0≦rn/9≦2/9 だから、an=[(n+2)(4n2+n+1)/18] になります。

 なお、a1=1 だから n=1 のときも この式は成り立ちます。

 よって、a16=[(16+2)(4・162+16+1)/18]=1041 です。


[参考]

 Σ(ω2k+1+ωk+2) を等比数列の和の公式を使ってまともに計算すれば、

 Σ(ω2k+1+ωk+2)=ω3(1-ω2n-2)/(1-ω2)+ω3(1-ωn-1)/(1-ω)

  =ω3(1-ω2n-2)/(ω3-ω2)+(1-ωn-1)/(1-ω)

  =ω(1-ω2n-2)/(ω-1)-(1-ωn-1)/(ω-1)=(ω-ω2n-1-1+ωn-1)/(ω-1)

  =1-(ω2n-1-ωn-1)/(ω-1)=1-(ω2n-ωn)/(ω2-ω)

  =1-(ω2n-ωn)/(-i√3)=1-(ω2n-ωn)i/√3=rn です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

群れ咲いて~見応え会ったでしょうネ
雪が降ったような・・・
植栽でしょうか~

ニリンソウ  
No title

ヒヨドリバナに似て違いますね。
山野草でしょうが解らない。
いつもの山にと思って起きたら雨だった 笑
これからは晴れの日が貴重になる新潟です。

ナイス

樹☆  
No title

こんにちは
フジバカマに似てる・・ヒヨドリバナでしょうか?
そう云えば、最近ヒヨドリ見ないです。

今日は昨日の雨がうそみたいに
止んで小春日和です^^

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんばんは~
アサギマダラがやってくるお花でしょうか?
アサギマダラはもう遠くに渡って行ってしまったかしら・・・
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヤマヒヨドリバナという花で、長居植物園で見ました。
仰る通り、雪のような花でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
長居植物園で、ヤマヒヨドリバナと書いてありました。
ところで、冬型の気圧配置が多くなりました。
今は北海道ですが、やがてそちらの方も雪の季節ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
長居植物園で見た、ヤマヒヨドリバナです。
ところで、今日はこちらも小春日和でした。
お日様が恋しい季節ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヒヨドリバナの一種ですので、アサギマダラが好むはずですが、
もう、アサギマダラははるか南を旅している季節です。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
何か上手い方法はないものかと考えましたが…
けっきょく、[解答2]もどきで地道に数え上げました…^^;v
同じ形を4個くっつけて…1辺32の正方形で...ジグザグを含む正方形を引いて4で割るということも考えましたが...ジグザグを含む正方形のカウントの仕方が面倒そうで思考停止…^^;…Orz

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ヒヨドリバナを見るとどうしてもアサギマダラに結び付けてしまいます
今年は此方ではアサギマダラも少ないようです
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題はなかなかうまい方法が見つかりませんでした。
この問題の答だけを求めるなら[解答2]が楽だと思います。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私も今年はアサギマダラと縁が薄かったように思います。
唯一、えびの高原を散策したときだけ見ました。