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[答1042] 整数部分の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1042] 整数部分の値


 a=(1+√5)/2 とするとき、[a14+a11]=?


[解答1]

 a-1/2=(√5)/2 を2乗して a2-a+1/4=5/4 、a2=a+1 、an+2=an+1+an だから、

 a3=a2+a=a+1+a=2a+1 、a4=a3+a2=2a+1+a+1=3a+2 、

 a5=a4+a3=3a+2+2a+1=5a+3 、a6=a5+a4=5a+3+3a+2=8a+5 、

 a7=a6+a5=8a+5+5a+3=13a+8 、a8=a7+a6=13a+8+8a+5=21a+13 、

 a9=a8+a7=21a+13+13a+8=34a+21 、a10=a9+a8=34a+21+21a+13=55a+34 、

 a11=a10+a9=55a+34+34a+21=89a+55 、a12=a11+a10=89a+55+55a+34=144a+89 、

 a13=a12+a11=144a+89+89a+55=233a+144 、

 a14+a11=a13+a12+a11=2a13=466a+288=466(1+√5)/2+288=521+233√5 、

 ここで、(233√5)2=271445 ,5212=271441 ,5222=271441+521+522 、

 よって、521<233√5<522 、1042<521+233√5<1043 、[a14+a11]=1042 です。


[解答2]

 b=(1-√5)/2 とすれば、-1<b<0 です。

 また、a-1/2=(√5)/2 を2乗して a2-a+1/4=5/4 、a2=a+1 、an+2=an+1+an

 同様に、b-1/2=(-√5)/2 を2乗して b2-b+1/4=5/4 、b2=b+1 、bn+2=bn+1+bn

 Fn=an+bn とおけば、Fn+2=Fn+1+Fn です。

 F0=1+1=2 ,F1=a+b=1 ,F2=F0+F1=3 ,F3=F2+F1=4 ,F4=F3+F2=7 ,F5=F4+F3=11 ,

 F6=F5+F4=18 ,F7=F6+F5=29 ,F8=F7+F6=47 ,F9=F8+F7=76 ,F10=F9+F8=123 ,

 F11=F10+F9=199 ,F12=F11+F10=322 ,F13=F12+F11=521 ,F14=F13+F12=843 になり、

 F14+F11=1042 になり、a14+b14+a11+b11=1042 です。

 a14+a11=1042-b11-b14=1042-b11(1+b3) 、

 ここで、-1<b11<0 ,-1<b3<0 だから、0<-b11(1+b3)<1 になり、

 [a14+a11]=1042 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

サルビアの鮮やかな赤が辺りを圧巻していたでしょうね~

樹☆  
No title

おはようございます
いつもこの花を見るたび「サルビアの花」を思い出します。
昭和の歌を。。

昨夜からこちらは雨になりました。

Yasuko  
No title

こんにちは(*˘︶˘*).。.:*♡
お久しぶりです😃
ありがとうございます(^o^)

さっちゃんこ  
No title

こんばんは♪
燃えるようなサルビアの真っ赤な色が良いですネ
真っ赤な色が大好きで元気を貰えます

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]もどきで...もっとエレファントに求めてしまいましたわ…^^;v
似た問題を解いたことありましたからなんとかなりましたが…
面白い発想ですよねぇ♪ Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
サルビアにもいくつかの色がありますが、赤が多いですね。
私も小学生の頃から知っているのは赤い花です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
札幌オリンピックの頃に流行った曲ですね。
ひとつ間違えば元カノが被害者になるような歌詞内容ですが、
当時はそんなことに頓着せずに聴いていました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、ご無沙汰です。コメントとナイス!をありがとうございます。
花の文化園の近くにくろまろの郷もできましたね。
私は変わらずブログを続けていますので、また、ご訪問ください。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
サルビアはやはり赤がいいですね。馴染みもありますし、元気が出ます。
小学生の頃、蜜を吸ったのを覚えています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
bのような、0に近い数とペアで考えると整数になるのがミソですね。
隣接3項間の漸化式が分かっていれば、こんな発想もできます。