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[答1043] 台形内の面積の和

ヤドカリ

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[答1043] 台形内の面積の和


 図のように、∠A=∠B=90゚,AD=8,AB=7,BC=13 の台形ABCDがあり、

 辺AD上にK,L,辺BC上にM,N をとって、AM,KN,LC,KB,LM,DNをつなぎます。

 このとき、図の紺色の部分の面積の最大値は?


[解答]

 中左図のように、6個の三角形に分けます。

 台形の高さを h とし、AM,KBの交点を O とすれば、△OAK∽△OMB だから、OK:OB=AK:MB 、

 △OAB=△ABK・BM/(AK+BM)=(1/2)h・AK・BM/(AK+BM) 、同様に △OKM=(1/2)h・AK・BM/(AK+BM) 、

 それぞれの色の2個の三角形の面積の和は、黄色が h・AK・BM/(AK+BM) 、

 同様に、水色は h・KL・MN/(KL+MN) ,橙色は h・LD・NC/(LD+NC) です。

 また、中中図のような緑色の部分の面積は、h・AL・BN/(AL+BN) です。

 h・AK・BM/(AK+BM)+h・KL・MN/(KL+MN)-h・AL・BN/(AL+BN)

  =h・{AK・BM(KL+MN)+KL・MN(AK+BM)}/{(AK+BM)(KL+MN)}-h・AL・BN/(AL+BN)

  =h・{AK・KL(BM+MN)+BM・MN(AK+KL)}/{(AK+BM)(KL+MN)}-h・AL・BN/(AL+BN)

  =h・(AK・KL・BN+BM・MN・AL)/{(AK+BM)(KL+MN)}-h・AL・BN/(AL+BN)

  =h・{(AK・KL・BN+BM・MN・AL)(AL+BN)-AL・BN(AK+BM)(KL+MN)}/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}

  =h・(BM・MN・AL2+AK・KL・BN2-AL・BN・AK・MN-AL・BN・BM・KL)/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}

  =h・{MN・AL(BM・AL-BN・AK)+KL・BN(AK・BN-AL・BM)}/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}

  =h・(BM・AL-BN・AK)(MN・AL-KL・BN)/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}

  =h・{BM・(AK+KL)-(BM+MN)・AK}{MN・(AK+KL)-KL・(BM+MN)}/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}

  =h・(BM・KL-MN・AK)(MN・AK-KL・BM)/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}

  =-h・(BM・KL-MN・AK)2/{(AK+BM)(KL+MN)(AL+BN)}≦0 、

 h・AK・BM/(AK+BM)+h・KL・MN/(KL+MN)≦h・AL・BN/(AL+BN) になります。

 等号が成り立つのは、BM・KL=MN・AK のとき、すなわち、AK:KL=BM:MN のときです。

 結局、黄色と水色の面積の和が最大になるのは、

 AK:KL=BM:MN のときで、その最大値は緑色の面積になります。

 同様に、緑色と橙色の面積の和が最大になるのは、

 AL:LD=BN:NC のときで、その最大値は中右図の紫色の面積になります。

 紫色の部分の面積は、h・AD・BC/(AD+BC)=7・8・13/(8+13)=104/3 です。

 ( もとの紺色の部分の面積が最大になるのは、AK:KL:LD=BM:MN:NC のときです。)


[参考] 厳密とは言えませんが ……

 下左図のように、直角を挟む2辺の長さが a,b である直角三角形に内接させた正方形を

 正方形(a,b) と表すと、正方形(a,b)の1辺の長さは ab/(a+b) になります。

 下中図,下左図のように、正方形(AL,BN)を赤枠で示し、

 グレーの部分を平行四辺形として、正方形(AK,BM) と 正方形(KL,MN) を青で示します。

 KM//LN ⇔ AK:KL=BM:MN であることに注意して、

 下中図のように、AK:KL=BM:MN のとき AK・BM/(AK+BM)+KL・MN/(KL+MN)=AL・BN/(AL+BN) 、

 下左図のように、AK:KL≠BM:MN のとき AK・BM/(AK+BM)+KL・MN/(KL+MN)<AL・BN/(AL+BN) 、

 であることが分かります。

.

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Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

パンパスグラスですネ
さわってみたくなりました
実物で観たことがないです~

さっちゃんこ  
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おはようございます♪
真っ青な空に輝くパンパスグラスが見事ですね♪
朝から晴れ晴れとした気持ちに成れました
ありがとうございます!!

ナイス♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
久しぶりに見ました♪青空に映えて爽やかですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

いい空ですね~
今頃のパンパスグラスはそんなですか。
踊ってるようですね。
今日は全国的にいい天気のようです、お元気で。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
意外に面倒なものですね ^^;
>AK:KL:LD=BM:MN:NC
であれば…上底 or 下底に平行線上にそれぞれの△の頂点が乗っているので...その直線の長さ*7/2で求まりますわね ^^v
その直線の長さ=8+(13-8)*(8/(8+13))=8+40/21
so…
(8+40/21)*(7/2)=28+20/3=104/3♪
でもいいですね Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらはパンパスグラスが育たないのでしょうか?
ススキと違って、穂にボリュームがあってフサフサしています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
やはりこの植物も青空の下で撮りたいものです。
曇り空では色の区別もつきにくいですよね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
パンパスグラスは時々見かけるのですが、
青空とのコラボになかなか出会えませんでした。爽やかでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
パンパスグラスは夏から見られますが、
ススキと同じで晩秋から初冬にかけてが見頃だと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「AK:KL:LD=BM:MN:NC であれば…」とのコメントですが、
それで最大になることを示すのがメインで、
具体的な数値は付け足しのようなものです。