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[答1044] 凸多角形と頂点を共有する四角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1044] 凸多角形と頂点を共有する四角形


 凸29角形の頂点の中の4個を頂点とする四角形は 294=23751 個あります。

 このうち、もとの凸29角形と2辺だけを共有するものの個数は?

 また、1辺だけを共有するものの個数は? 辺を共有しないものの個数は?


[解答1]

 一般化して、凸n角形(n≧5)とします。

 まず、2辺だけを共有する四角形の個数を求めます。

  共有する2辺が隣り合う場合、共有する2辺の選び方はn通り、

  もう1つの頂点は その2辺の端点3個とその隣の2点を除く n-5 通り考えられるので、

  n(n-5) 個あり、

  共有する2辺が隣り合わない場合、共有する1辺の選び方はn通り、

  もう1辺は その隣の辺,隣の隣の辺を除いて n-5 通り考えられ、

  2度ずつ数えることになるので、n(n-5)/2 個あります。

  よって、n(n-5)+n(n-5)/2=3n(n-5)/2 個です。

 次に、1辺だけを共有する四角形の個数を求めます。

  共有する1辺の選び方はn通り、あと2つの頂点の選び方の条件は、

  共有する1辺の端点2個とその隣の2点以外で隣り合わないことですので、

  頂点に 1 から n-4 の番号をつけ、1 から n-5 の数から2個を選び、

  大きい方に1を加えれば、選ぶ頂点の番号が決まります。

  よって、総数は n・n-52=n(n-5)(n-6)/2 です。

 更に、辺を共有しない四角形の個数を求めます。

  まず1つの頂点を決め、その点から左周りに 1 から n までの番号をつけ、

  4 から n-2 の数から3個を選び、最小数から1を減じ、最大数に1を加えれば、

  残り3頂点の番号が決まります。

  4度ずつ数えることになるので、n・n-53/4=n(n-5)(n-6)(n-7)/24 です。

 n=29 の場合、

 2辺だけを共有する四角形の個数は 3・29(29-5)/2=1044 個、

 1辺だけを共有する四角形の個数は 29(29-5)(29-6)/2=8004 個、

 辺を共有しない四角形の個数は 29(29-5)(29-6)(29-7)/24=14674 個です。


[解答2]

 一般化して、凸n角形(n≧5)とします。

 また、四角形の頂点を左回りにA,B,C,Dとし、AとB,BとC,CとD,DとA の間の

 凸n角形の頂点の個数を a,b,c,d とすれば、a+b+c+d=n-4 です。

 a,b,c,d のうち3個が 0 であるのは、43=4 通り、

 a,b,c,d のうち2個が 0 であるのは、

  0 にする文字2個を選び、他の2個の和を n-4 にすればよいので、

  42n-51=6(n-5) 通り、

 a,b,c,d のうち1個が 0 であるのは、

  0 にする文字1個を選び、他の3個の和を n-4 にすればよいので、

  41n-52=4(n-5)(n-6)/2 通り、

 a,b,c,d が全部 0 でないのは、4個の和を n-4 にすればよいので、

  n-53=(n-5)(n-6)(n-7)/6 通り、

 いずれの場合も 頂点Aを凸n角形のどの頂点にするかが n 通りで、

 同じ四角形を 4 回ずつ数えることになりますので、n/4 を掛けて、

 n ,3n(n-5)/2 ,n(n-5)(n-6)/2 ,n(n-5)(n-6)(n-7)/24 です。

 それぞれ、凸n角形と四角形の共有する辺の数が 3本,2本,1本,0本の場合です。

 n=29 の場合、

 2辺だけを共有する四角形の個数は 3・29(29-5)/2=1044 個、

 1辺だけを共有する四角形の個数は 29(29-5)(29-6)/2=8004 個、

 辺を共有しない四角形の個数は 29(29-5)(29-6)(29-7)/24=14674 個です。


[参考]

 念のために、3辺を共有する四角形の個数 n も加えて、

 n+3n(n-5)/2+n(n-5)(n-6)/2+n(n-5)(n-6)(n-7)/24

  =n+n(n-5){36+12(n-6)+(n-6)(n-7)}/24=n+n(n-5)(n2-n+6)/24

  =n(24+n3-6n2+11n-30)/24=n(n-1)(n-2)(n-3)/24=n4

 n個の頂点から4個を選ぶときの場合の数になり、検算ができました。

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Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

青い空に黄葉、黄色い実
あったかい感じがしました!

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
センダンの実も黄色く色付いて来ましたね!!
此れから野鳥の囀りも賑やかに成りそうです!!

ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
>共有する2辺が隣り合わない場合、共有する1辺の選び方はn通り、
>もう1辺は その隣の辺,隣の隣の辺を除いて n-5 通り考えられ、
のところですが,その辺の隣を除くだけでいいように思ったのですが…so…n-3通り考えられ2で割る…n(n-3)/2

1辺だけのときは、残りのn-4から2点を選び…n*(n-4)C2から2辺が隣り合わない場合を引けばいいと思ったのですが…^^;
ここから抜け出せぬまんまでしたぁ…^^;;

この考え方はどこがおかしかったのでしょうか知らん..?…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青空の下ではセンダンの実も映えます。
バックはピントが合っていませんが、たくさんの実が見えます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
センダンの実もたくさん見ることができます。
ただ、樹が高いので、撮りにくいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このような問題はもれなく重複なく数えないといけません。
各場合を別々に求めて、合計が合うことを確かめると安心です。

ニリンソウ  
No title

背が高いので!
青空がバックで広がった実と葉が
幾何学模様になっていい狙い目です。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
今気づけましたぁ ^^;;
隣の隣を数えたら…3辺が隣合うものができてしまうのでしたわ!!
参った…Orz~…自問自答^^;v

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
やはり青空のバックがいいですね。
幾何学模様にまでは考えが及びませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントをありがとうございます。
やはり、各場合を別々に求めて、合計が合うことを確かめると安心です。