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オイラーの定理(外心と内心の距離の公式)

ヤドカリ

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オイラーの定理(外心と内心の距離の公式)


 三角形の外接円の半径を R ,内接円の半径を r ,外心と内心の距離を d とすれば、

 d=√(R2-2Rr) です。このことを証明します。


[証明]

 △ABCの 外心を O ,内心を I ,ABと内接円の接点を H ,弧BCの中点を M ,

 KLを I を通る直径 ,MN を直径とします。

 ∠MBC=∠MAC=∠MAB ,∠CBI=∠ABI より ∠MBC+∠CBI=∠MAB+∠ABI 、∠MBI=∠MIB 、

 よって、MB=MI です。

 また、∠MNB=∠IAH,∠MBN=∠IHA より △MNB∽△IAH になり、MN:IA=MB:IH 、

 IA・MB=MN・IH=2Rr です。

 よって、2Rr=IA・MB=IA・IM=IK・IL=(OK-OI)(OL+OI)=(R-d)(R+d)=R2-d2

 d2=R2-2Rr です。

.

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Comments 8

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ひとりしずか  
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今朝は0℃、強霜
写真とはかけ離れた朝です!

ニリンソウ  
No title

真っすぐ!!
気持ちいいね~~南国。

ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
そらにそびえて…ここはどこ?(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
朝は寒く、冷えますね。
この写真のような日差しが恋しいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
少し以前の写真ですが、アップする機会があれば使おうと思っていました。
本文の内容が気持ちいいものですので、気持ちいい写真を使いました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
長居植物園のバラ園の横でいつも空にそびえています。
なかなかその高さが写真におさまらないです。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
空に向って伸びるワシントニアパームが良いですネ
私の住んでいる宮崎かと思ってしまいました

南国のイメージタップリの光景ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
宮崎のワシントニアパームは方々で見られますが、
こちらでは、長居植物園でしか見たことがありません。
これだけを撮れば南国ですね。