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[答1046] 菱形の展開図

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1046] 菱形の展開図


 菱形を左図の点線で折って四面体を作るとその体積は (√14)/3 ,

 右図の点線で折って四面体を作るとその体積は (√6)/2 です。

 この菱形の1辺の長さは? また、面積は?


[解答]

 下図のように、この菱形の対角線の長さを 4a,4b ,1辺の長さを 2c とすれば、

 三平方の定理より a2+b2=c2 です。

 四面体ABPQの PQの中点をMとすれば、△ABMの3辺の長さは 2c,3b,b 、

 (2c+3b+b)/2=2b+c だから、ヘロンの公式により、

 △ABM=√{(2b+c)(2b+c-2c)(2b+c-3b)(2b+c-b)}=√{(2b+c)(2b-c)(c-b)(c+b)}

  =√{(4b2-c2)(c2-b2)}=√{(4b2-a2-b2)a2}=a√(3b2-a2)

 平面ABM⊥PQ だから、体積は 2・(1/3)・△ABM=(2/3)a2√(3b2-a2) です。

 よって、(2/3)a2√(3b2-a2)=(√14)/3 、(4/9)a4(3b2-a2)=14/9 、a4(3b2-a2)=7/2 ……(1) になります。

 同様に、(2/3)b2√(3a2-b2)=(√6)/2 、(4/9)b4(3a2-b2)=3/2 、b4(3a2-b2)=27/8 ……(2) になります。

 (1)-(2) より (b2-a2)3=1/8 、b2-a2=1/2 、b2=a2+1/2 、(1)に代入して a4(3a2+3/2-a2)=7/2 、

 4a6+3a4-7=0 、(a2-1)(4a4+7a2+7)=0 、a2=1 、b2=a2+1/2=3/2 、a=1,b=(√6)/2 です。

 よって、菱形の1辺の長さは 2c=√(4a2+4b2)=√(4+6)=√10 、

 菱形の面積は 8ab=8・1・(√6)/2=4√6 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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熟し切った色!!!
見事にびっしりとついて~

ニリンソウ  
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オオカメノキのようですね。
おいしそう~~イクラに見えて 笑
ナイス
そちらは今日は晴れ、ここは小雨です。

さっちゃんこ  
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こんばんは
真赤に熟した木の実に小鳥さん達が一杯やって来そうですネ

ナイス☆彡

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
△ABMを底辺にして考えればよかったのねぇ ^^;
気づけず…△BPQ=(3/8)*S
高さをどうやれば求めることができるのか懊悩したまま時間切れ…^^;;
無念…^^;;;...Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
ビッシリとついたガマズミの実です。
この時期になると熟れ具合もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
この実はガマズミです。
オオカメノキを私は知らないので、調べると、ガマズミ属だそうです。
似ていて当然ですが、イクラにも似ていることには思いが至りませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ガマズミの実は果実酒にも使えるそうですね。
小鳥さんたちが酔っ払ったら大変ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
面対称な立体は、対称面で切断すると何とかなるものです。
貴殿がなぜ正解に至らなかったのかが不思議でした。

樹☆  
No title

こんばんは
お久しぶりです。
たわわな実ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
お忙しかったのでしょうか?
もうこんなたわわな実がなる季節になりましたね。