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[答1047] 傍接円の半径の和

ヤドカリ

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[答1047] 傍接円の半径の和


 外接円の半径が 47/14 で 内接円の半径が 10/7 の 三角形の 3個の傍接円の半径の和は?


[解答]

 3角形の3辺を a,b,c,面積を S,外接円の半径を R,内接円の半径を r ,

 3個の傍接円の半径の和を T とし、(a+b+c)/2=s とおきます。

 T=S/(s-a)+S/(s-b)+S/(s-c) で、r=S/s だから、

 T-r=S{s(s-b)(s-c)+s(s-a)(s-c)+s(s-a)(s-b)-(s-a)(s-b)(s-c)}/S2

  ={s(s-b)(s-c)+s(s-a)(s-c)+s(s-a)(s-b)-(s-a)(s-b)(s-c)}/S 、

  ={2s3-(a+b+c)s2+abc}/S 、

  =(2s3-2s・s2+abc)/S=abc/S=4RS/S=4R なので、

 T=4R+r になります。

 よって、求める3個の傍接円の半径の和は、4・47/14+10/7=104/7 です。


[参考]

 R=47/14,r=10/7 の三角形の存在は、次のように示されます。

 ∠A=60゚ の △ABCにおいて、内接円の半径を r とすれば、頂点から接点までの長さに着目し、

 AB=r√3+x ,AC=r√3+y ,BC=x+y とおくことができ、

 外接円の半径を R とすれば、BC=2Rsin60゚ なので、x+y=R√3 です。

 また、BC2=AB2+AC2-2AB・ACcos60゚ なので、

 (x+y)2=(r√3+x)2+(r√3+y)2-(r√3+x)(r√3+y) 、

 (R√3)2=3r2+2xr√3+x2+3r2+2yr√3+y2-(3r2+xr√3+yr√3+xy) 、

 3R2=3r2+(x+y)r√3+(x+y)2-3xy 、

 3R2=3r2+(R√3)r√3+(R√3)2-3xy 、

 xy=r2+Rr になります。

 よって、x,y は t2-(R√3)t+(r2+Rr)=0 の解になり、

 判別式は (R√3)2-4(r2+Rr)=3R2-4Rr-4r2=(R-2r)(3R+2r) だから、

 R≧2r>0 のとき、x,y は実数で、和も積も正の数ですので、ともに正の数になります。

 本問も R≧2r>0 を満たしますので、条件を満たす三角形は存在します。

 オイラーの定理 ( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2853.html ) より、

 外心と内心の距離は √(R2-2Rr) ですので、R≧2r は成り立ち、

 R=2r になるのは、正三角形の場合だけです。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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赤はドウダンでしょうか?
自然っていいですね~

ゆうこ つれづれ日記  
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この時期にまだ紅葉とススキの
コラボが見られるのですね。
ナイス☆

昨日は一日雨で鬱陶しかったですが今日は朝から晴天です。
気持ちがよいです。

ニリンソウ  
No title

ススキもいよいよ白くなって風に種を飛ばしています。
侘しい冬景色には似合う枯尾花です。

ナイス

さっちゃんこ  
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こんにちは
真っ赤に紅葉したドウダンツツジが奇麗ですね
ススキとのコラボが素敵です

ナイス☆彡

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これはどう考えればいいのか...暗中無策で…諦めましたが…Orz
最初のTの式...
傍心の半径=S/(s-a) からして、すぐ理解できましぇん…^^;;
but...奇麗な式に驚き☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、赤いのはドウダンツツジです。
ドウダンツツジにの赤は目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらの紅葉ももう終盤、ススキも枯れているのが多いです。
こちらは紅葉とススキが終わればもう年末です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
夏から見られたススキも枯れてきました。
落葉もさかんで、乾いた冬景色に移行していきます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
ドウダンツツジの赤を撮ってこの写真になりました。
ススキがうまく季節を語ってくれました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
内接円の半径は S/s ですが、
傍接円の半径は S/(s-a),S/(s-b),S/(s-c) です。
調べてみて下さい。