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[答1048] 数列の和

ヤドカリ

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[答1048] 数列の和


 nを自然数,kをn以下の自然数とし、

 1,2,3,……,n-1,n と kから始まる k,k+1,……,n-1,n,1,2,……,k-1 の、

 1番目どうしの積,2番目どうしの積,3番目どうしの積,……,n番目どうしの積 の総和を Fn,k と定義します。

 Fn,k+1-Fn,k=432 (1≦k<n) を満たす (n,k) のうち、nが最小である場合の Fn,k ,Fn,k+1 の値は?


[解答]

 Fn,k=1・k+2(k+1)+……+(n-k)(n-1)+(n-k+1)n+(n-k+2)・1+(n-k+3)・2+……+n(k-1) 、

 Fn,k+1=1(k+1)+2(k+2)+……+(n-k-1)(n-1)+(n-k)n+(n-k+1)・1+(n-k+2)・2+……+nk 、

 和の順序を変えて、

 Fn,k=1・k+2(k+1)+……+(n-k)(n-1)+(n-k+2)・1+(n-k+3)・2+……+n(k-1)+(n-k+1)n 、

 Fn,k+1-Fn,k=1・1+2・1+……+(n-k)・1+(n-k+1)・1+(n-k+2)・1+……+n・1-(n-k+1)n 、

  =(1/2)n(n+1)-(n-k+1)n=-n(n+1-2k)/2 、

 Fn,k+1-Fn,k=-n(n+1-2k)/2 、

 Fn,j+1-Fn,j=nj-n(n+1)/2 を j=1,2,……,k-1 として加えると、

 Fn,k-Fn,1=n(k-1)k/2-(k-1)n(n+1)/2 、

 Fn,k=Fn,1-n(k-1)(n+1-k)/2=n(n+1)(2n+1)/6-n(k-1)(n+1-k)/2 です。

 Fn,k+1-Fn,k=-n(n+1-2k)/2=432 、n(n+1-2k)=-864=-25・33 となり、

 n,n+1-2k の片方は奇数で他方は偶数で、n>|n+1-2k| なので、nが最小である場合、

 n=32 ,n+1-2k=-27 、(n,k)=(32,30) です。

 F32,30=32・33・65/6-32・29・3/2=11440-1392=10048 ,

 F32,31=32・33・65/6-32・30・2/2=11440-960=10480 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

マムシグサの実……
一つ一つが種なんでしょうね~
これ全部目を出したらすごい事に……

樹☆  
No title

おはようございます
マムシグサ・・わぁ~ほんとにマムシに似てます。
見てると飛びかかってきそうですね。
色も怖いなぁ~と思いました。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは!!
マムシグサの実が真っ赤には来ましたね!!
花は余り好きでは無いですが実の方は嫌いでは無いです

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

赤いトウモロコシみたいですね~有毒ですが。
私は実より花の方が好きなんです。
変わった形です。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「全部芽をだしたら」とは考えませんでした。
でも、魚卵といっしょで、育つのはごく僅かでしょうね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
色も形もあまり気持ちいいものではないですね。
滅多にアップしませんが、たまにはこんな写真も撮ります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
私は実もあまり気持ちいいものだとは思いません。
それにしても、いろんな植物がありますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
テンナンショウ属は花の形も独特ですね。
私は花なら雪餅草がいいです。