FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1050] 三角数と三角数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1050] 三角数と三角数


 図のように、黒石を 1+2+……+m 個を正三角形状に並べたものを 1+2+……+n 個用意し、

 これを1辺が黒石 mn 個の正三角形状に並べ、空いた所には白石を正三角形状に並べます。

 図は m=5,n=4 の場合で、黒石 150個,白石 60個で、個数の差は 90 です。

 このように並べて、黒石と白石の個数の差が 750 であれば、黒石,白石はそれぞれ何個?


[解答]

 黒石の個数は (1+2+……+m)(1+2+……+n)=m(m+1)n(n+1)/4 で、

 白石の個数は {1+2+……+(m-1)}{1+2+……+(n-1)}=(m-1)m(n-1)n/4 ですので、

 その差は、m(m+1)n(n+1)/4-(m-1)m(n-1)n/4=mn(m+n)/2 になります。

 よって、mn(m+n)/2=750 、mn(m+n)=1500=22・3・53 です。

 ここで、m,n,m+n のうちの2つが g の倍数であれば、残りの1つも g の倍数だから、

 この3数全部が5の倍数でなければ、1つが 125の倍数になります。

 1つが 125の倍数であれば、他の2つの積が 12の約数で、これはあり得ません。

 よって、m,n,m+n は全部5の倍数で、(m/5)(n/5)(m/5+n/5)=22・3 、

 (m/5,n/5,m/5+n/5)=(1,3,4),(3,1,4) 、(m,n)=(5,15),(15,5) 、

 黒石の個数は m(m+1)n(n+1)/4=5・6・15・16/4=1800 で、

 白石の個数は (m-1)m(n-1)n/4=4・5・14・15/4=1050 です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます。
皇帝ダリアまだ咲いているのですか?
青空にそびえて咲く姿はすてきですね。
寒さが本格的になりました。風邪には注意しましょう。

ひとりしずか  
No title

コウテイダリア寒いときの花でしょうか……
励ましてくれているような~

アキチャン  
No title

こんにちわ。
撮りにくいお花なのに、青空に映えてきれいですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
m-1段までの黒の底辺の個数+m段の黒の個数
=mn(n-1)/2+n*m(m+1)/2
=mn(m+n)/2=750
の間違いでしたわ ^^;
偶々答えが一致してただけでした…Orz…
ここからの推論は勉強になりました☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
つい先日までよく見かけていました。
なかなか散歩できず少し前の写真を使いました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
皇帝ダリアは本格的な冬の前に咲きます。
冬を迎え、寒さを予告してくれているような気がします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
確かに撮りにくい高さの花ですね。
それだけに青空と一緒に撮りたい花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
答が予測できると都合よく計算してしまいますね。
まあ、ご愛敬ということですね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
皇帝ダリアが綺麗に咲いていますね
青い空に咲いている姿は見事ですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
この写真は少し前の小春日和に撮りました。
皇帝ダリアは高いだけに青空と合います。