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[答1051] 1を移動すると 4.9倍

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1051] 1を移動すると 4.9倍


 12195 は 先頭の1を末尾に移動すると 21951 になり、21951/12195=1.8 倍になります。

 では、先頭の1を末尾に移動すると 4.9 倍になる最小の自然数は?


[解答]

 求める自然数を n とし、n は k 桁の数であるとします。

 n の先頭の 1 を末尾に異動すると 10(n-10k-1)+1 になるので、

 10(n-10k-1)+1=4.9n 、100(n-10k-1)+10=49n 、

 51n=10k+1-10=10(10k-1) になり、

 これは、9 が k 個続いた後に 0 である 999……9990 になります。

 これを図のように筆算で割り切れるまで割り算すると、n=1960784313725490 です。


 なお、51n=10(10k-1) を n/(10k-1)=10/51 と式変形すれば、

 nは 10/51 を小数に書き換えたときの循環節(またはその繰り返し)であることが分かります。


 更に、フェルマーの小定理を知っていれば、1016≡1 (mod 17) で、

 明らかに、1016≡1 (mod 3) なので、1016≡1 (mod 51) 、

 k=16 のときに、n=10(10k-1)/51 が自然数であることが分かります。

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Comments 11

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!

瓦葺きの建物にもみじの紅葉は良く映えて素敵ですね♪

此方ではこの様な光景を見ることは殆ど無いので
憧れな仕舞います♪

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

いまだこのような紅葉見られるのですネ
鮮やかな色惹かれます!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

紅葉がきれいですね。
道東では見られない瓦屋根(?)によく似合っています。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
逆にこちらでは水面に映る紅葉はほとんど見られません。
昨年まであまり意識しなかったのですが、茶室と紅葉もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
1週間以上前の写真ですが、この前の写真と同じ日に撮りました。
色鮮やかなモミジが綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「黄梅庵」という茶室前で撮った写真です。
道東の気候に瓦屋根が合わないことは知りませんでした。

ヤドカリ  
No title

> 2016/12/16(金) 午後 0:34の鍵コメ様
わざわざのお知らせを戴き、有難うございました。
ちょっと安堵しました。

ニリンソウ  
No title

しっとり見事な和の風情ですね。
こちらは今朝から廻りは白です、雪が平野部にも積もったのです。
それでも山歩きは行きました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
大仙公園うちにある堺市茶室「黄梅庵」の前で撮りました。
建物と紅葉もよく合いますね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
朴訥な筆算でしたが…なんとか求められました ^^;v
スマートには...最後の式の計算で求められるわけでしたのね☆

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
「神ってる」解き方もいいし、朴訥な解き方もいい。
数学に興味を持てるような問題を作りたいものです。