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[答1052] 市松模様のタイル張り

ヤドカリ

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[答1052] 市松模様のタイル張り


 m,n を自然数とし、m×m のタイルを張って n×n の正方形を市松模様になるように埋めます。

 このとき、最後の半端な部分はタイルを長方形や正方形に切って張ります。

 左の図は (m,n)=(4,22) のとき、右の図は (m,n)=(5,22) のときで、

 いずれの場合も 白の面積が 244,黒の面積が 240 です。

 では、白の面積が 1384,黒の面積が 1320 のとき、(m,n)=?


[解答1]

 n÷m の 商を q ,余りを r とします。

 白と黒の面積の差は、下図のように、赤で囲んだ部分に着目すれば、

 q が奇数のとき、m2+r2-2mr=(m-r)2

 q が偶数のとき、r2 です。

 n=mq+r=m(q+1)+r-m だから、

 q が奇数のとき q+1=2Q,r-m=R 、q が偶数のとき q=2Q,r=R と書き換えれば、

 n=2mQ+R (-m≦R<m) と表したとき、面積の差は R2 です。

 n2=1384+1320=2704 より n=52 、R2=1384-1320=64 より R=±8 、

 よって、52=2mQ±8 、2mQ=44,60 、mQ=22,30 であり、m≧|R|=8 ですので、

 m は 22 または 30 の約数で 8 以上となり、m=10,11,15,22,30 です。

 (m,n)=(10,52),(11,52),(15,52),(22,52),(30,52) です。


[解答2]

 n×n の正方形の上の辺(左の辺)のうちの白の部分の長さを a,黒の部分の長さを b とします。

 (a+b)2=1384+1320=2704 より a+b=52 、

 (a-b)2=1384-1320=64 より a-b=8 、

 よって、n=a+b=52 ,a=30 ,b=22 で、m は a または b の約数で 8 以上です。

 22 または 30 の約数で 8 以上の自然数は、m=10,11,15,22,30 ですので、

 (m,n)=(10,52),(11,52),(15,52),(22,52),(30,52) です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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花びらの白と実の赤が一緒で~

アキチャン  
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おはようございます。
赤い実が白さを引き立てていますね。。きれい♪(o^-^o)

ニリンソウ  
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姫イチゴの木ですね。
大きくなって2mほどになったのに夏には切り倒しました。 花と実が同時に見れてイイですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花弁の白、実の赤と黄が一緒に見られました。
イチゴの木とは上手く名付けたものですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
馬酔木のような花ですが、実と一緒がいいですね。
樹として面白いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
2mにもなった樹を切り倒されたのは残念ですね。
花と実が一緒に見られるのは嬉しいです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答1]もどきでしたが…[解答2]の方法でもいいことに納得☆
意外でしたわ ^^;v Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解答1]は愚直な解き方だと思います。
白黒がプラスとマイナスに見えたら、楽ですね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは

イチゴの木ですネ
もみじの里では花は咲くのですが実が生りません
何か特別な育て方が必要なのかな(?_?)

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花の文化園で見たものですが、この樹には実ができていました。
ところが、花の文化園の他の所の大きな樹には実がありませんでした。

樹☆  
No title

こんばんは
イチゴの木?
お花はスズランのように可愛いし
イチゴみたいに赤い実は冬に
ほっとしますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
イチゴの木って面白いです。
花はスズランほど大きくないので、私には馬酔木に見えます。
馬酔木ほど多くはありませんが。