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[答1053] 関数方程式

ヤドカリ

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[答1053] 関数方程式


 f(x) は xの2次関数で、負でないすべての整数m,nについて

 f(mn)=f(m)f(n)/3+f(m-1)f(n-1)/3 が成り立つとき、f(26)=?


[解答]

 f(mn)=f(m)f(n)/3+f(m-1)f(n-1)/3 において、m=1 とすれば、

 f(n)=f(1)f(n)/3+f(0)f(n-1)/3 、{3-f(1)}f(n)=f(0)f(n-1) 、

 これが 2次関数 f(x) において すべての自然数nについて成り立つので、

 f(0)=0,f(1)=3 になります。

 よって、f(x)=ax(x-1)+3x (a≠0) と表せ、f(2)=2a+6 ,f(4)=12a+12 です。

 f(mn)=f(m)f(n)/3+f(m-1)f(n-1)/3 において、m=n=2 とすれば、

 12a+12=(2a+6)2/3+3 、36a+36=(2a+6)2+9 、

 4a2-12a+9=0 、(2a-3)2=0 、a=3/2 です。

 f(x)=(3/2)x(x-1)+3x=(3/2)x(x-1+2)=3x(x+1)/2 になることが必要です。

 このとき、

 f(m)f(n)/3+f(m-1)f(n-1)/3

  ={3m(m+1)/2}{3n(n+1)/2}/3+{3(m-1)m/2}{3(n-1)n/2}/3

  =3mn(m+1)(n+1)/4+3mn(m-1)(n-1)/4=3mn{(m+1)(n+1)+(m-1)(n-1)}/4

  =3mn(2mn+2)/4=3mn(mn+1)/2=f(mn) が成り立ちます。

 よって、f(x)=3x(x+1)/2 になり、f(26)=3・26・(26+1)/2=1053 です。


[参考]

 図のように、1+2+3+……+n 個の△において、

 その辺の数を f(n) とすれば、△の個数は f(n)/3 になり、

 負でない整数m,nについて、f(mn)/3={f(m)/3}{f(n)/3}+{f(m-1)/3}{f(n-1)/3} が

 成り立つことが分かります。これをもとに作問しました。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
木立の中に整然と敷き詰められた落ち葉、気分爽快になりました(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
メタセコイアの葉は細かくて、木立の間はビッシリと埋まります。
その中に射しこむ陽の光に暖かさを感じます。

ひとりしずか  
No title

木漏れ日と敷き詰められた落ち葉、季節感が……
以前住んでいた家の近くの専門学校の構内にメタセコイアの大木
なつかしく思い出しました。落ち葉がお布団のようでした。

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
メタセコイアの林に日差しが柔らかく伸びて
気持ちいい散歩ですね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
今日はよい天気です♪

恒等式からでも、わたしゃ...係数比較という朴訥法でした ^^;
[参考]解読できましたが面白いですね☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪

メタセコイア並木なのですね!!

落葉した中に差す木漏れ日が綺麗ですね♪

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
敷き詰められると美しいメタセコイアの葉も、小さくて隙間に入ると大変でしょう。
大木に近寄ると安堵感がありますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
メタセコイアは1本でも存在感がありますが、林もいいですね。
明日はその中で下から見た光景の写真をアップします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
係数比較だけでは大変な式になりますので、代入する数の工夫が必要ですね。
なお、こんな関数方程式は[参考]のような背景がないと思いつきません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
落葉がすすんで地面が美しく見える季節ももうすぐ終わりですね。
寒くなりましたが、木洩れ日に暖かさを感じます。