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[答1054] 円の6分割

ヤドカリ

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[答1054] 円の6分割


 円周を6等分する点A,B,C,D,E,Fと内部の点Pがあって、

 線分PA,PB,PC,PD,PE,PFで円を6分割します。

 その面積が左回りに 8,13,14,S,T,U であるとき、(S,T,U)=?


[解答1]

 △PAB=a,△PBC=b,△PCD=c,△PDE=d,△PEF=e,△PFA=f,正六角形ABCDEF=6s とし、

 円の半径を r,xy平面上で A(2r,0),D(-2r,0),BC:y=r√3,EF:y=-r√3 とします。

 a+d=b+e=c+f=2s で、

 ADを a:d に内分する点のx座標は (2rd-2ra)/(a+d)=(2rd-2ra)/(2s)=(d-a)r/s だから、

 Pは y=-(√3){x-(d-a)r/s} 上にあります。

 ADを f:c に内分する点のx座標は (2rc-2rf)/(f+c)=(2rc-2rf)/(2s)=(c-f)r/s だから、

 Pは y=(√3){x-(c-f)r/s} 上にあります。

 よって、Pのy座標を y とすれば、2y=-(√3){x-(d-a)r/s}+(√3){x-(c-f)r/s} 、

 2y=(√3)(d-a)r/s-(√3)(c-f)r/s 、2y/(r√3)=(d-a-c+f)/s=(2s-a-a-c+2s-c)/s 、

 y/(r√3)=(2s-a-c)/s になります。

 b:e=(r√3-y):(y+r√3)={1-y/(r√3)}:{y/(r√3)+1}

  ={1-(2s-a-c)/s}:{(2s-a-c)/s+1}=(s-2s+a+c):(2s-a-c+s) 、

  =(-s+a+c):(3s-a-c) です。

 ここで、(-s+a+c)+(3s-a-c)=2s ですので、b=-s+a+c 、c=s+b-a になります。

 c+k=(s+k)+(b+k)-(a+k) ですので、円と正六角形の間の1つの面積を k と考えれば、

 円と線分PA,PB,PC,PD,PE,PFで囲まれる部分の面積を a,b,c,d,e,f とし、

 中心角が 60゚ の扇形の面積を s とした場合も c=s+b-a は成り立ちます。

 本問では、14=s+13-8 ,S=s+14-13 ,T=s+S-14 ,U=s+T-S が成り立ち、

 s=9 ,S=10 ,T=5 ,U=4 、(S,T,U)=(10,5,4) です。


[解答2]

 右図のように、BC,DE,FAを延長してできる正三角形を △KLM、

 正六角形ABCDEF=6s とすれば、△KLM=9s です。

 △PBC+△PDE+△PFA=△PKL/3+△PLM/3+△PMN/3

  =(△PKL+△PLM+△PMN)/3=△KLM/3=3s 、

 △PAB+△PCD+△PEF=正六角形ABCDEF-(△PBC+△PDE+△PFA)=3s 、

 円の半径を r,1辺が r の正三角形の高さを h とすれば、rh/2=s ですので、

 △PAB+△PDE=△PBC+△PEF=△PCD+△PFA=r・2h/2=2s になります。

 円と正六角形の間の1つの面積をそれぞれの三角形の面積に加えると、

 13+S+U=8+14+T ,8+S=13+T=14+U になり、

 T=S-5 ,U=S-6 を 13+S+U=8+14+T に代入し、13+S+S-6=8+14+S-5 、

 S=10 ,T=5 ,U=4 、(S,T,U)=(10,5,4) です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

なんお実?
美味しそうに見えます(笑)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
オリーブの実でしょうか

似たような実を以前見たように思います
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

これも解らないです。
きっとこちらでは見れない木なんでしょう。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
さっちゃんこさんが書かれているようにオリーブの実です。
黒っぽいものも多かったのですが、カラフルな部分を撮りました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
温暖な地方に住んでおられるさっちゃんこさんならお分かりですね。
実の色づき具合の違うのを撮りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
オリーブです。関西では小豆島が有名です。
宮城県石巻市が東日本大震災からの復興の一環として、
"北限のオリーブ"栽培に取り組んでいるそうです。

樹☆  
No title

こんばんは
九州でも栽培されてます。
特に小豆島へ行ったらこの実がいっぱいでした。
穏やかな地中海性気候に恵まれた小豆島の風土は
あってると思ってましたが、

えっ?宮城で栽培ですか?寒いとこで?びっくりです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
気づけましたが...面白い問題ですね☆
1個飛ばしの和が1/2になることの証明はわかりやすいです♪
so...正偶数角形なら同じようなことが言えますね ^^ Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
樹ちゃんも小豆島に行かれたのですね。
私は1回だけ、大学卒業前に仲間と訪れたのを思い出しました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
1つおきの面積の和が等しいことは何となくそうなりそうですが、
それに気づけないと、または知っていないと、難しいですね。