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[答1056] 等比数列の下4桁

ヤドカリ

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[答1056] 等比数列の下4桁


 初項が自然数でその下4桁が 2566 、公比が 4 の有限の等比数列があり、

 その和の下4桁が 3886 のとき、末項の下4桁は?


[解答]

 初項を a,末項を L,初項から末項までの和を S とします。

 a≡2566 (mod 10000) より、

 末項 L が第2項であれば S=a+4a=5a≡2830 (mod 10000) で、成り立ちません。 

 末項 L が第3項であれば S=a+4a+16a=21a≡3886 (mod 10000) で、成り立ち、

 このとき、L=16a≡1056 (mod 10000) で、1056 は答の1つです。  

 末項 L が第n項であれば S=a(4n-1)/(4-1)=(a・4n-a)/3 ですが、

 L=a・4n-1 なので、S=(4L-a)/3 、4L=3S+a です。

 a≡2566 (mod 10000) ですので、4L≡3・3886+2566≡4224 (mod 10000) 、

 4L=4224+10000k (kは整数) と表され、L=1056+2500k=16(66+625k/4) です。

 更に、n≧3 なので、L は 第3項 16a の倍数であり、16の倍数ですので、

 k は4の倍数、L≡1056 (mod 10000) になり、末項の下4桁は 1056 に限定されます。


[参考1]

 第n項の下4桁が 1056 であるとき、n=3+250k (kは負でない自然数) です。

 このことを示しておきます。

 L=2566・4n-1=1283・22n-1≡1056 (mod 10000) ですので、

 1283・22n-5≡66 (mod 625) 、33・22n-5≡66 (mod 625) 、

 66(22n-6-1)≡0 (mod 625) 、22n-6-1≡0 (mod 625) です。

 自然数p,5と互いに素な自然数q について、

 二項定理より、(5pq+1)m=(5pq)mmm-1(5pq)m-1+……+m2(5pq)2+m(5pq)+1 で、

 これは 5p+1 を法として 1 と合同になる最小の自然数mは m=5 であることを示しています。

 2m が 5 を法として 1 と合同になる最小の自然数mは m=4 であるので、

 2m が 52 を法として 1 と合同になる最小の自然数mは m=20 であり、

 2m が 53 を法として 1 と合同になる最小の自然数mは m=100 であり、

 2m が 54 を法として 1 と合同になる最小の自然数mは m=500 です。

 よって、22n-6≡1 (mod 625) より、2n-6=500k 、n=3+250k です。


[参考2]

 第n項の下4桁が 1056 であるとき、n=3+250k (kは負でない自然数) です。

 このことを uch*n*anさんもコメントしてくれました。

 まず,n=3 で成立するのは明らか。n=m+3 とおくと,mod 10000 で,

 2566・4(m+3)-1≡1056,1056(4m-1)≡0,32(4m-1)≡0,

 この後は mod 625 で,32(4m-1)≡0,4m≡1,

 625以下で 625と互いに素な自然数の個数 φ(625)=54-53=500 なので,

 オイラーの定理より,4500≡1,(4125-1)(4125+1)(4250+1)≡0,

 ここで,4 のべき乗の下1桁は,奇数べきならば 4,偶数べきならば 6 です。

 そこで,4125+1≡0,だけが可能で,4125≡-1,4250≡1,と決まります。

 最小の m は 250 以下ですが,250 を m で割った余り r が 0 でないと 4r≡1 となって,

 m の最小性に矛盾するので,m は 250 の偶数の約数,2, 10, 50, 250,のどれかですが,

 422=16,45=1024≡400-1,410≡-800+1,450≡-4000+1,となって,2, 10, 50 はあり得ません。

 これより,m の最小は 250 で,n=250k+3,と書けます。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

マンリョウですネ
センリョウもみえますね~
たわわに……

さっちゃんこ  
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明けましておめでとうございます
本年も宜しくお願い致します

万両の実が見事ですネ
千両も見えていますね
縁起物が揃って見事です
ナイス☆彡

スモークマン  
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グーテンターク ^^
2566+0264+1056=3886
2566は4の倍数でないのでこれだけかと思いましたが…?

1056*(4+4^2+…+4^m)=0 mod 10000=2^4*5^4
であればよく…
264*(1+4+4^2+…+4^(m-1))=0 mod 5^4=625
264(4^m-1)/3=88(4^m-1)=0 mod 625
4^φ(625)=4^(5^4-5^3)=4^500=1
これから、L=1056でS=3886は循環することが言えるわけですね ^^
Orz~

スモークマン  
No title


そっか...じっさいには…1056のあと、4^250毎に循環しているが解説されていましたのね ^^;v 熟読玩味ぃ☆

ニリンソウ  
No title

見事なマンリョウ、センリョウ、めでたい庭ですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
千両万両がたわたになっていました。
経済的に不自由しない1年でありたいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
年始の挨拶は控えさせていただいておりますが、
縁起の良い1年でありたいと思って、この写真を使いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は答を1つ出すだけならそう難しくないですが、
それ以外にないことと末項が第何項になるかは難しいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
都市緑化センターで撮ったものですが、こんな庭があればいいなぁと思います。
いずれ、ささやかに千両万両を植えてみようと思います。

樹☆  
No title

こんばんは
わたしもこんなに植えられるお庭があればいいなぁと
思いました。

穏やかな年を願います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
このような庭があればいいですが、
何より平和が一番、去年から国際情勢の変化が大きく気になります。