[答1060] 内側と外側の三角形
[答1060] 内側と外側の三角形
△ABCの 辺BC上に点D,CA上に点E,AB上に点F をとり、
BEとCFの交点をP,CFとADの交点をQ,ADとBEの交点をR とします。
AF:FB=1:4 ,AE:EC=5:4 ,△QCA=11 ,△RAB=15 のとき、
△PQR,△ABC の面積は?
[解答]
中図のように、APの延長とBCの交点をS,AF:FB=m:n,AE:EC=p:q とします。
メネラウスの定理より
(AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)=1 だから、(AP/PS)(SC/CB)=AF/FB=m/n 、
(AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)=1 だから、(AP/PS)(SB/BC)=AE/EC=p/q 、
よって、(AP/PS)(SC+SB)/BC=m/n+p/q 、AP/PS=m/n+p/q になります。
AS/PS=(AP+PS)/PS=m/n+p/q+1 、△ABC/△PBC=m/n+p/q+1 、
右図で、(三角形全体)/(黄緑色の部分)=m/n+p/q+1 です。
本問の場合、BD:DC=x:1 とすれば、△ABC/△PBC=1/4+5/4+1=5/2 ,
△ABC/△QCA=x/1+4/1+1=x+5 ,△ABC/△RAB=4/5+1/x+1=1/x+9/5 になり、
△ABC/11=x+5 ,△ABC/15=1/x+9/5 、△ABC=11(x+5)=15(1/x+9/5) 、
11x+55=15/x+27 、11x+28-15/x=0 、11x2+28x-15=0 、(11x-5)(x+3)=0 、
x=5/11 となって、△ABC=11(x+5)=11(5/11+5)=60 です。
また、△ABC/△PBC=5/2 、60/△PBC=5/2 、1/△PBC=1/24 、△PBC=24 、
△PQR=△ABC-△PBC-△QCA-△RAB=60-24-11-15=10 です。
まとめると、△PQR=10,△ABC=60 です。
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