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[答1060] 内側と外側の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1060] 内側と外側の三角形


 △ABCの 辺BC上に点D,CA上に点E,AB上に点F をとり、

 BEとCFの交点をP,CFとADの交点をQ,ADとBEの交点をR とします。

 AF:FB=1:4 ,AE:EC=5:4 ,△QCA=11 ,△RAB=15 のとき、

 △PQR,△ABC の面積は?


[解答]

 中図のように、APの延長とBCの交点をS,AF:FB=m:n,AE:EC=p:q とします。

 メネラウスの定理より

 (AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)=1 だから、(AP/PS)(SC/CB)=AF/FB=m/n 、

 (AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)=1 だから、(AP/PS)(SB/BC)=AE/EC=p/q 、

 よって、(AP/PS)(SC+SB)/BC=m/n+p/q 、AP/PS=m/n+p/q になります。

 AS/PS=(AP+PS)/PS=m/n+p/q+1 、△ABC/△PBC=m/n+p/q+1 、

 右図で、(三角形全体)/(黄緑色の部分)=m/n+p/q+1 です。

 本問の場合、BD:DC=x:1 とすれば、△ABC/△PBC=1/4+5/4+1=5/2 ,

 △ABC/△QCA=x/1+4/1+1=x+5 ,△ABC/△RAB=4/5+1/x+1=1/x+9/5 になり、

 △ABC/11=x+5 ,△ABC/15=1/x+9/5 、△ABC=11(x+5)=15(1/x+9/5) 、

 11x+55=15/x+27 、11x+28-15/x=0 、11x2+28x-15=0 、(11x-5)(x+3)=0 、

 x=5/11 となって、△ABC=11(x+5)=11(5/11+5)=60 です。

 また、△ABC/△PBC=5/2 、60/△PBC=5/2 、1/△PBC=1/24 、△PBC=24 、

 △PQR=△ABC-△PBC-△QCA-△RAB=60-24-11-15=10 です。

 まとめると、△PQR=10,△ABC=60 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ホソバヒイラギナンテンかな?
庭にあったのですが、スズメバチが寄ってきたので抜いてしまいました。
それでか去年はハチの巣が出来ませんでした
花は濃い黄色できれいだったのですが……
葉は細長くてとげとげでしたね~

アキチャン  
No title

おはようございます。
パット開いて咲いていてきれいですね♪(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

マホニア(ヒイラギナンテン)この種は冬に咲いてくれますね。
植物園外壁でも咲いてるようです。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これはダルマさんでした ^^;
>AP/PS=m/n+p/q
は奇麗な関係式ですね☆
次回からは解けるようになりたいと思います ^^;v Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
よく似ていますが、ヒイラギナンテンの花です。
調べてみると、ホソバの方は秋に咲くようです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
冬の寒い時期に明るく黄色の花が咲きます。
写真の右の方に太陽の光が当たって輝いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
其方にも咲いていますか。
冬に咲く花は貴重で、特に黄色は気持ちも明るくします。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
AP/PS=m/n+p/q は、多分先人も知ってたと思いますが、
私もいろいろ考えているうちに導いたものです。
仰る通り、奇麗な関係式です。

樹☆  
No title

ヒイラギナンテンと言うのですね。面白い形です
黄色いお花が可愛いです。
ナンテンのような実をつけるのですか?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
色は南天とは違いますが、丸い実をつけます。
早春の黄色の花は暖かさを感じさせます。