[答1060] 内側と外側の三角形

[答1060] 内側と外側の三角形


　△ABCの 辺BC上に点D，CA上に点E，AB上に点F をとり、

　BEとCFの交点をP，CFとADの交点をQ，ADとBEの交点をR とします。

　AF：FB＝1：4 ，AE：EC＝5：4 ，△QCA＝11 ，△RAB＝15 のとき、

　△PQR，△ABC の面積は？


[解答]

　中図のように、APの延長とBCの交点をS，AF：FB＝m：n，AE：EC＝p：q とします。

　メネラウスの定理より

　(AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)＝1 だから、(AP/PS)(SC/CB)＝AF/FB＝m/n 、

　(AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)＝1 だから、(AP/PS)(SB/BC)＝AE/EC＝p/q 、

　よって、(AP/PS)(SC＋SB)/BC＝m/n＋p/q 、AP/PS＝m/n＋p/q になります。

　AS/PS＝(AP＋PS)/PS＝m/n＋p/q＋1 、△ABC/△PBC＝m/n＋p/q＋1 、

　右図で、(三角形全体)/(黄緑色の部分)＝m/n＋p/q＋1 です。

　本問の場合、BD：DC＝x：1 とすれば、△ABC/△PBC＝1/4＋5/4＋1＝5/2 ，

　△ABC/△QCA＝x/1＋4/1＋1＝x＋5 ，△ABC/△RAB＝4/5＋1/x＋1＝1/x＋9/5 になり、

　△ABC/11＝x＋5 ，△ABC/15＝1/x＋9/5 、△ABC＝11(x＋5)＝15(1/x＋9/5) 、

　11x＋55＝15/x＋27 、11x＋28－15/x＝0 、11x²＋28x－15＝0 、(11x－5)(x＋3)＝0 、

　x＝5/11 となって、△ABC＝11(x＋5)＝11(5/11＋5)＝60 です。

　また、△ABC/△PBC＝5/2 、60/△PBC＝5/2 、1/△PBC＝1/24 、△PBC＝24 、

　△PQR＝△ABC－△PBC－△QCA－△RAB＝60－24－11－15＝10 です。

　まとめると、△PQR＝10，△ABC＝60 です。

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