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[答1061] 六角形の面積

ヤドカリ

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[答1061] 六角形の面積


 AB=8 ,AD=9 ,AE=6 の 直方体ABCD-EFGHを 切り口が六角形なるように 平面で切断しました。

 その頂点は 辺DA,AB,BF,FG,GH,HD 上にあり、順に L,M,N,P,Q,R とします。

 AL=3 ,AM=4 ,BN=2 で 六角形LMNPQRの面積を S とするとき、S=?

 なお、図は正確ではありません。


[解答1]

 条件より DL=6,LA=3,AM=4,MB=4,BN=2,NF=4 です。

 PQ//LM より PG:GQ=LA:AM=3:4 なので、

 PG=3k,GQ=4k とおくと FP=9-3k,QH=8-4k です。

 QR//MN より QH:HR=MB:BN なので、

 (8-4k):HR=4:2 、4HR=2(8-4k) 、HR=4-2k 、RD=6-(4-2k)=2+2k です。

 RL//NP より RD:DL=NF:FP なので、

 (2+2k):6=4:(9-3k) 、(2+2k)(9-3k)=24 、-6k2+12k-6=0 、k=1 になり、

 FP=6,PG=3,GQ=4,QH=4,HR=2,RD=4 です。

 よって、MはABの,QはGHの中点になり、MQ//BG ,MQ=BG=√(92+62)=3√13 、

 また、FN:FB=4:6=2:3 ,FP:FG=6:9=2:3 より NP//BG ,NP=2BG/3=2√13 であり、

 NP//MQ 、更に、NM=√(22+42)=2√5 ,PQ=√(32+42)=5 になります。

 図のように、台形NPQMの面積は 3辺が 2√5,5,√13 の三角形の面積の 5 倍になり、

 3辺が a,b,c である三角形の面積は

 (1/4)√(2b2c2+2c2a2+2a2b2-a4-b4-c4) だから、

 台形NPQM=(5/4)√(2・25・13+2・13・20+2・20・25-202-252-132)=5√61 、

 台形RLMQ≡台形NPQM だから、S=2・5√61=10√61 です。


[解答2]

 空間座標で、E(0,0,0),F(8,0,0),H(0,9,0),A(0,0,6) とすれば、

 L(0,3,6),M(4,0,6),N(8,0,4) になり、平面LMNは 3x+4y+6z=48 、

 P(8,6,0),Q(4,9,0),R(0,9,2) です。

 また、平面LMNと座標軸との交点は X(16,0,0),Y(0,12,0),Z(0,0,8) ですので、

 △EYZ=48,△EZX=64,△EXY=96 になり、

 △XYZ=√(482+642+962)=16√(32+42+62)=16√61 、

 YR:RL:LZ=1:2:1 ,ZM:MN:NX=1:1:2 ,XP:PQ:QY=2:1:1 だから、

 S={1-(2/4)(2/4)-(1/4)(1/4)-(1/4)(1/4)}・16√61=(10/16)・16√61=10√61 です。


[解答3]

 空間座標で、E(0,0,0),F(8,0,0),H(0,9,0),A(0,0,6) とすれば、

 L(0,3,6),M(4,0,6),N(8,0,4) になり、平面LMNは 3x+4y+6z=48 、

 P(8,6,0),Q(4,9,0),R(0,9,2) です。

 平面LMNをヘッセの標準形に直すと、(3/√61)x+(4/√61)y+(6/√61)z=48/√61 ですので、

 ( 平面を ax+by+cz=d が a2+b2+c2=1,d>0 のとき ヘッセの標準形という )

 yz平面,zx平面,xy平面 への正射影の面積は (3/√61)S,(4/√61)S,(6/√61)S です。

 正射影の面積は (6/√61)S=8・9-3・4=60 、S=10√61 です。


☆ yz平面,zx平面,xy平面 への正射影の面積 30,40,60 を求めておけば、

  S2=302+402+602=6100 です。

  座標の設定は異なりますが、sbr*d4*5さんがこの方法で解かれました。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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ランの種類多くて……
たくさんの花を咲かせるの難しそう~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~
今日は大寒だそうです。
まだ気温が−5.6℃・・・
朝は−15でお部屋の中の空気が冷たいです。
あまり寒いと集中力に欠けてしまうわ・"(>0<)"・。
白色の胡蝶蘭、大好きです。
ナイス☆

あっ!天気予報士さんは言っていなかったのに
雪が降ってきました。

ニリンソウ  
No title

豪華なコチョウランですね。
お店で見るのは多分贈答用ね、こんなの咲かせられたら
素晴しい。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]で...外積を使いましたが...四平方の定理(直角三角錐のとき)っていうのがあったのを思い出しました☆

平面の正射影(cosθ)の求め方がわかりませんでした…が...
ヘッセの標準形で表せられるのですねぇ…☆
ヘッセの標準形ってのを調べなきゃ ^^;v

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ランの花の種類は多いですね。
胡蝶蘭の白はその中でも印象に残ります。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
白の胡蝶蘭、私も綺麗だと思います。
ところで、北海道の冬、気温のマイナスは省略して言うそうですね。
私には耐えられそうにありません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
素人は贈答としてもらっても美しさを保てないですね。
仰る通り、咲かせられたら素晴らしいと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヘッセの標準形って、あまり知られていませんが、
特別に名前がついているだけあって、便利な面があるのですね。

樹☆  
No title

こんばんは
今日は雨→霙→霰→曇り→雨・・
目まぐるしく変化した一日でした。寒かったです。
3本立てですか?
胡蝶蘭は華やかで白さが際立ってます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらも雪が降るかも知れないと思いましたが、結局は降らなかったのですが、
怪しい雲行きで、風も強く寒い1日でした。
お互い、健康に注意しないといけませんね。