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[答1062] 等差数列

ヤドカリ

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[答1062] 等差数列


 等差数列{ an }と ある自然数 N について、a1 ,aN は整数、

 a1+a2+a3+……+aN=1066 , [a1]+[a2]+[a3]+……+[aN]=1050 のとき、N=?

 更に、a1+a2+a3+……+a30=483 のとき、 a1=? aN=?


[解答]

 a1+aN=s とすれば、ak+aN+1-k=s だから、

 ak が整数でなければ (ak-[ak])+(aN+1-k-[aN+1-k])=1 、

 整数でない項 ak の小数部分 ak-[ak] の平均が 1/2 になります。

 (a1-[a1])+(a2-[a2])+(a3-[a3])+……+(aN-[aN])=1066-1050=16 だから、

 整数でない項は 16/(1/2)=32項です。

 次に、公差は (aN-a1)/(N-1) であり、既約分数にしたときの分母を d とすれば、

 { an }は d 毎に整数になり、

 d-1 は 32の約数で、N-1=32d/(d-1) になります。d-1=32,16,8,4,2,1 ですので、

 (d,N)=(33,34),(17,35),(9,37),(5,41),(3,49),(2,65) に限定されます。

 一方、a1+a2+a3+……+aN=(a1+aN)N/2=1066 より、

 (a1+aN)N=2・1066=2・2・13・41 、N は 2・2・13・41 の約数で、N=41,a1+a41=52 です。

 後半は、a1+a2+a3+……+a30=(a1+a30)・30/2=483 より a1+a30=161/5 です。

 (a30-a1):(a41-a1)=29:40 なので、(161/5-2a1):(52-2a1)=29:40 、40(161/5-2a1)=29(52-2a1) 、

 1288-80a1=1508-58a1 、a1=-10 、a41=52-a1=62 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

パフィオペディラム「ウィンストンチャーチル」
1年前県立花きセンターで見たシンビジウムのひとつにありました(^0_0^)
属名の語源は「女神のスリッバ」。
スリッパの形に見えますけど……

アキチャン  
No title

おはようございます。
おもしろいお花の形状ですね(´▽`)
受け口の顔のようにも見えてます(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

パフィオペディラム、こんなのも育てている愛好家が
おられるんですよ。
食中植物でもあるのかな?

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
パズルっぽい問題で好きなのですが…
さっぱりのダルマでした…読んでも難しそう…^^;
but…熟読玩味に努めたいぃ~m◉m~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
パフィオペディラムだけでも種類が多いですね。
私にはスリッパには見えませんでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ランの花の種類は多いですね。
パフィオペディラムはユニークな形をしています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
カトレアだけでは面白くないのでしょうか。
人それぞれ好みは違いますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
まず、整数でない項の個数がわかります。
その両端や途中に整数の項を入れて等差数列にすればいいです。

樹☆  
No title

わぁ早口ことばみたいな
名前・・覚えられないです。
ポパイのパイプみたいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
名前はともかく、こんな形のランもいろんな色があります。
ランの種類の多さには驚きです。