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[答1063] abcの値

ヤドカリ

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[答1063] abcの値


 a,b,c が正の数で、V=6a/(9ab+6a+2)+15b/(21bc+15b+10)+7c/(21ca+7c+5) のとき、

 V の最大値は? また、V が最大になるときの abc の値は?


[解答1]

 V=6a/(9ab+6a+2)+15b/(21bc+15b+10)+7c/(21ca+7c+5) を a の関数として微分すると、

 V'={6(9ab+6a+2)-6a(9b+6)}/(9ab+6a+2)2-7c・21c/(21ca+7c+5)2

  =12/(9ab+6a+2)2-147c2/(21ca+7c+5)2

  =3{4(21ca+7c+5)2-49c2(9ab+6a+2)2}/{(9ab+6a+2)2(21ca+7c+5)2

  =3{(42ca+14c+10)2-(63abc+42ca+14c)2}/{(9ab+6a+2)2(21ca+7c+5)2

  =3(63abc+84ca+28c+10)(10-63abc)/{(9ab+6a+2)2(21ca+7c+5)2

 abc<10/63 のとき V'>0 ,10/63<abc のとき V'<0 だから、

 abc=10/63 のとき V は最大になります。

 このとき、

 V=6a/(9ab+6a+2)+15b/(21bc+15b+10)+7c/(21ca+7c+5)

  =6a/(9ab+6a+2)+15ab/(21abc+15ab+10a)+7abc/(21abca+7abc+5ab)

  =6a/(9ab+6a+2)+45ab/(63abc+45ab+30a)+63abc/(189abca+63abc+45ab)

 63abc=10 より、

 V=6a/(9ab+6a+2)+45ab/(10+45ab+30a)+10/(30a+10+45ab)

  =6a/(9ab+6a+2)+9ab/(2+9ab+6a)+2/(6a+2+9ab)

  =(6a+9ab+2)/(9ab+6a+2)=1 です。


[解答2]

 9ab+6a+2=A,21bc+15b+10=B,21ca+7c+5=C,abc=k とすれば、

 V=6a/A+15b/B+7c/C です。

 AB=(9ab+6a+2)(21bc+15b+10)=189kb+135ab2+180ab+126k+60a+42bc+30b+20 、

 AB(6a/A+15b/B)=6aB+15bA=6a(21bc+15b+10)+15b(9ab+6a+2)

  =126k+180ab+60a+135ab2+30b=AB-(189kb+42bc+20) 、

 V=6a/A+15b/B+7c/C=1-(189kb+42bc+20)/(AB)+7c/C

  =1-{(189kb+42bc+20)C-7cAB}/(ABC) 、

 (189kb+42bc+20)C-7cAB

  =(189kb+42bc+20)(21ca+7c+5)-7c(189kb+135ab2+180ab+126k+60a+42bc+30b+20)

  =3969k2+1323kbc+945kb+882kc+294bc2+210bc+420ca+140c+100
  -1323kbc-945kb-1260k-882kc-420ca-294bc2-210bc-140c

  =3969k2-1260k+100=(63k-10)2

 V=1-(63k-10)2/(ABC) になり、abc=k=10/63 のとき、V の最大値は 1 です。


[解答3]

 △ABCの 辺BC上に点D,CA上に点E,AB上に点F をとり、

 BEとCFの交点をP,CFとADの交点をQ,ADとBEの交点をR とします。

 左図のように、APの延長とBCの交点をS,AF:FB=m:n,AE:EC=p:q とします。

 メネラウスの定理より

 (AP/PS)(SC/CB)(BF/FA)=1 だから、(AP/PS)(SC/CB)=AF/FB=m/n 、

 (AP/PS)(SB/BC)(CE/EA)=1 だから、(AP/PS)(SB/BC)=AE/EC=p/q 、

 よって、(AP/PS)(SC+SB)/BC=m/n+p/q 、AP/PS=m/n+p/q になります。

 AS/PS=(AP+PS)/PS=m/n+p/q+1 、△ABC/△PBC=m/n+p/q+1 、

 中図で、(三角形全体)/(水色の部分)=m/n+p/q+1 です。

 本問では、BD:DC=7c:5,CE:EA=3a:1,AF:FB=3b:2 とすれば、

 △ABC/△PBC=3b/2+1/(3a)+1=(9ab+2+6a)/(6a) ,

 △ABC/△QCA=7c/5+2/(3b)+1=(21bc+10+15b)/(15b) ,

 △ABC/△RAB=3a/1+5/(7c)+1=(21ca+5+7c)/(7c) になり、

 V=6a/(9ab+6a+2)+15b/(21bc+15b+10)+7c/(21ca+7c+5)

  =△PBC/△ABC+△QCA/△ABC+△RAB/△ABC≦1 で、

 等号が成立するのは P,Q,Rが一致するとき、すなわち、AD,BE,CF が1点で交わるときで、

 チェバの定理より、(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1 、(7c/5)(3a)(3b/2)=1 、63abc/10=1 、

 abc=10/63 のときに 最大値 1 になります。

.

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

一輪一輪花びらの色の入り具合微妙に違うんでしょうね~
華やかさがありますネ

アキチャン  
No title

こんにちわ。
艶やかな色合い、きれい♪(o^-^o)

樹☆  
No title

おはようございます
シンプルな形ですが、色合いがすてきです。
今日は暖かい樹地方です。

ニリンソウ  
No title

こんにちは~
こんな蘭が咲いてる森はどこでしょうね~
南米かな、日本では鉢でしょうね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
相加相乗のような感じで考えましたが…^^;
[解法3]のような背景から作られたとは…
少なくともわたしにゃ思い及ばず…^^;;;…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ランの花の微妙な色合いは素敵です。
光の当たり具合でも色が違って見えるのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
光の当たっている白い部分が輝いて見えます。
ちょっとした角度で色が違う写り方をします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ランにはいろんな形と色もありますね。
こちらも今日はグングン気温が上がる暖かい日でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この蘭も花の文化園の温室に咲いていたものです。
南西諸島・沖縄・小笠原なら外で十分でしょうが。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
[解法3]の背景を使って、[1060]と一緒に、作問しました。
同じネタでもいろいろと工夫できます。