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[答1064] 3数の和が113

ヤドカリ

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[答1064] 3数の和が113


 加える順序を無視して3つの自然数の和で 5 を表す方法は 1+1+3,1+2+2 の 2通りです。

 では、加える順序を無視して3つの自然数の和で 113 を表す方法は何通り?


[解答1]

 a,b,c を自然数として 113=a+b+c とします。

 113個のものを並べるときの 112個の間のうち2個を選ぶ方法と対応し、

 a,b,c の決め方は 1122=112・111/2=56・111 通りです。

 113 は 3 の倍数でないので、a=b=c になることはありません。

 b=c になるのは b=c=1,2,3,……,56 の 56通りで、

 c=a,a=b の場合も同数ですので、2つが等しい場合は 3・56通りです。

 a<b<c の場合の数を N 通りとすれば、

 6N+3・56=56・111 、6N+6・56=56・114 、N+56=56・19=1064 が a≦b≦c の場合の数です。
 

 一般化して、n,a,b,c を自然数で n=a+b+c とします。

 n個のものを並べるときの (n-1)個の間のうち2個を選ぶ方法と対応し、

 a,b,c の決め方は n-12=(n-1)(n-2)/2 通りです。

 a=b=c になるのがp通りとすれば、nが3の倍数のとき p=1 ,nが3の倍数以外のとき p=0 です。

 b=c になるのは a=b=1,2,3,……,[(n-1)/2] の [(n-1)/2]通りで、

 nが偶数のとき q=1 ,nが奇数のとき q=0 とすれば、 [(n-1)/2]=(n-1-q)/2 通り、

 c=a,a=b の場合も同数ですので、

 2つだけが等しい場合は 3(n-1-q)/2-3p 通りです。

 a<b<c の場合の数を N 通りとすれば、

 6N+3(n-1-q)/2-3p+p=(n-1)(n-2)/2 、

 6N=(n-1)(n-2)/2-3(n-1-q)/2+2p=(n2-3n+2-3n+3+3q+4p)/2 、

 N=(n2-6n+5+3q+4p)/12 、

 a≦b≦c の場合の数は、

 N+(n-1-q)/2-p+p=(n2-6n+5+3q+4p)/12+(n-1-q)/2

  =(n2-6n+5+3q+4p+6n-6-6q)/12=(n2-1+4p-3q)/12 、

 ここで、-1+4p-3q=-1,3,-4,0 ですので、

 round(n2/12)=[(n2+3)/12] と表されます。


[解答2]

 加える順序を無視して3つの自然数の和で n を表す方法を an 通りとします。

 113 を表す方法のうち、最小数が 2 以上のものは、1 ずつ小さくすれば和は 110 で、

 最小数が 1 のものは、1+1+111,1+2+110,1+3+109,……,1+56+56 の 56通り、

 よって、a113=a110+56 、

 110 を表す方法のうち、最小数が 2 以上のものは、1 ずつ小さくすれば和は 107 で、

 最小数が 1 のものは、1+1+108,1+2+107,1+3+106,……,1+54+55 の 54通り、

 よって、a110=a107+54 になります。

 一般に、nが奇数のとき an=an-3+(n-1)/2 、nが偶数のとき an=an-3+(n-2)/2 で、

 n,n-3 の一方が奇数で他方が偶数だから、A,B の一方は 1 ,他方は 2 とすれば、

 an=an-3+(n-A)/2=an-6+(n-3-B)/2+(n-A)/2=an-6+n-3 、

 an-an-6=n-3 です。

 n=113,107,101,……,11 を代入して加えると、

 a113-a5=110+104+98+……+8=(110+8)・18/2=1062 、

 a113=a5+1062=2+1062=1064 です。


 一般化して、n を 6 で割ったときの 商を q ,余りを r とすれば、

 an=ar+(n-3+r+3)q/2=ar+(n+r)q/2 で、

 a0=0 ,a1=0 ,a2=0 ,a3=1 ,a4=1 ,a5=2 です。

 n=6q+r なので、q=(n-r)/6 、an=ar+(n+r)q/2 に代入して、

 an=ar+(n+r)(n-r)/12=(n2-r2+12ar)/12=n2/12+ar-r2/12 、

 ar-r2/12=0,-1/12,-1/3,1/4,-1/3,-1/12 だから、

 an=round(n2/12)=[(n2+3)/12] です。



[参考]

 ガウス記号や四捨五入なしで表せば、

  n≡0 (mod 6) の場合、n2/12 通り,

  n≡±1 (mod 6) の場合、(n2-1)/12 通り,

  n≡±2 (mod 6) の場合、(n2-4)/12 通り,

  n≡3 (mod 6) の場合、(n2+3)/12 通りです。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

寒紅梅かしら?
花びらの色濃く、今が盛りとばかりに咲いていますネ!

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
嬉しいですね、そろそろ地の花が見れる頃ですか
紅梅も華やかですね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答1]の方で ^^
この手は慣れてたから...ラッキー問でしたぁ♪
but...[解答2]のような発想は皆無でしたわ ^^;…
色々なアプローチがあるものですのねぇ…Orz~☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
紅梅もあちこちで見られるようになってきました。
紅い花が競って咲いているようでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
今までも見られたのですが、最近は花の数が増えてきました。
春が近づいているのを感じます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
同じ問題を違う発想で解き、同じ答えが出ると嬉しいものです。
いろいろ考えてみる習慣をつけるのがいいですね。

樹☆  
No title

紅梅もすてきですね。
暖かな感じがします。

今日で1月も終わりですものね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
紅梅は目立ちますね。
少し前から咲いているのですが、花の数が多くなって撮りました。
1輪だけの暖かさでは寒いです。