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[答1065] 6乗の和

ヤドカリ

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[答1065] 6乗の和


 a+b+c=3 ,a3+b3+c3=33 ,a5+b5+c5=333 のとき、a6+b6+c6=?


[解答1]

 bc+ca+ab=p とします。

 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(bc+ca+ab)=9-2p 、

 a3+b3+c3=(a+b+c){(a+b+c)2-3(bc+ca+ab)}+3abc より、

 33=3(9-3p)+3abc 、11=9-3p+abc 、abc=3p+2 になり、

 b2c2+c2a2+a2b2=(bc+ca+ab)2-2abc(a+b+c)=p2-6(3p+2)=p2-18p-12 です。

 (a3+b3+c3)(a2+b2+c2)=a5+b5+c5+b2c2(b+c)+c2a2(c+a)+a2b2(a+b) より、

 33(9-2p)=333+b2c2(3-a)+c2a2(3-b)+a2b2(3-c) 、

 297-66p=333+3(b2c2+c2a2+a2b2)-abc(bc+ca+ab) 、

 -36-66p=3(p2-18p-12)-p(3p+2) 、p=0 ですので、

 bc+ca+ab=0 ,abc=2 ,a2+b2+c2=9 ,b2c2+c2a2+a2b2=-12 です。

 a6+b6+c6=(a2+b2+c2){(a2+b2+c2)2-3(b2c2+c2a2+a2b2)}+3a2b2c2

  =9{92-3・(-12)}+3・22=1065 です。


[解答2]

 bc+ca+ab=p ,abc=q ,nを自然数として f(n)=an+bn+cn とすれば、

 f(1)=a+b+c=3 ,f(3)=33 ,f(5)=333 で、f(6) を求めることになります。

 f(2)=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(bc+ca+ab)=9-2p であり、

 a+b+c=3 ,bc+ca+ab=p ,abc=q より、a,b,c は x3-3x2+px-q=0 の解、

 すなわち、x3=3x2-px+q の解だから、

 a3=3a2-pa+q ,b3=3b2-pb+q ,c3=3c2-pc+q になり、

 辺々加えて、f(3)=3f(2)-p・f(1)+3q 、

 更に、kを自然数として ak+3=3ak+2-pak+1+qk ,bk+3=3bk+2-pbk+1+qk

 ck+3=3ck+2-pck+1+qk になり、f(k+3)=3f(k+2)-p・f(k+1)+q・f(k) です。

 f(3)=3f(2)-p・f(1)+3q=3(9-2p)-3p+3q=27-9p+3q=33 だから、q=3p+2 になり、

 f(4)=3f(3)-p・f(2)+q・f(1)=3・33-p(9-2p)+3(3p+2)=2p2+105 、

 f(5)=3f(4)-p・f(3)+q・f(2)=3(2p2+105)-33p+(3p+2)(9-2p)=-10p+333=333 だから、

 p=0 ,q=2 です。

 f(1)=3 ,f(2)=9 ,f(3)=33 ,f(4)=105 ,f(5)=333 ,f(k+3)=3f(k+2)+2f(k) になり、

 f(6)=3f(5)+2f(3)=3・333+2・33=1065 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

 ab+bc+ca=0であったおかげで,計算がかなり楽になりました.

 ab+bc+ca=0のときの,a+b+c ,a3+b3+c3 ,a5+b5+c5 の条件を調べてみます.

 a+b+c=A ,a3+b3+c3=B ,a5+b5+c5=C とおく.

 B=A3,C=A5のときは,a,b,c のうちの2つが 0 となって,ab+bc+ca=0が成り立つ.

 以下ではabc≠0を前提とする.

 ab+bc+ca=0より,a2+b2+c2=A2.

 a3+b3+c3=A(A2-3・0)+3abcから,abc=-(A3-B)/3であり,a2b2c2=(A3-B)2/9 .

 a2b2+b2c2+c2a2=02-2(a+b+c)abc=(2/3)A(A3-B) .

 さらに,1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/(abc)=0 .

 a2,b2,c2 は t3-A2t2+(2/3)A(A3-B)t-(A3-B)2/9=0 の3解より,

 a5-A2a3+(2/3)A(A3-B)a-(A3-B)2/(9a)=0 などが成り立ち,

 C-A2B+(2/3)A2(A3-B)=0.

 C=(1/3)A2(-2A3+5B) . [この結果は,B=A3,C=A5 を含んでいる.]

.

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

やさしく美しい!!!

ゆうこ つれづれ日記  
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こんにちは~~
薔薇ですか?
柔らかい感じのピンク色は
優し気が見えていいですね。
ナイス☆

ニリンソウ  
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バラかな! ほんのり柔らかな色ですね。
戸外で咲くバラは今の時期珍しい。
節分ですね立春過ぎれば春の足音聞こえるかな。

樹☆  
No title

こんばんは
優しい色合いですね。
立春の前日に似合うお花かなと思います。

今夜は鬼さん役ですか?

スモークマン  
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グーテンアーベント^^
[解答2]が定番と思うも…p,qの求め方がいい加減でした…^^;
偶々正解になっただけだったこと判明 Orz…
対称式だけで求めるのはわたしには無理かなぁ…^^;;...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
寒い中、優しい色の薔薇が咲いていました。
おもわず撮った1枚です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。。
ほとんどの薔薇が枯れていたバラ園で見ました。
このように咲き残っていると愛おしいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
5月ごろの薔薇と違って、寂しく咲いていました。
この時期に健気に咲く薔薇もいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
春を感じさせるような優しい色でした。
鬼役ではありません。明日から春ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
たまたま正解を出すのも実力と考えるか、
納得してえた答だけを実力と考えるかは人それぞれ。
私としては、楽しんでくれればそれで結構です。