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[答1067] 条件を満たす自然数の組

ヤドカリ

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[答1067] 条件を満たす自然数の組


 次の条件を満たす 27以下の自然数の組(x,y,z)は、(1)(2)(3)において それぞれ何組?

  (1) x-y=y-z   (2) |x-y|=|y-z|   (3) x-y=|y-z|


[解答]

 一般化してn以下の自然数の組(x,y,z)の個数を求めます。

 (1) y=(x+z)/2 だから、x,z の両方が奇数 または 両方が偶数であればよい。

  nが奇数のとき、奇数が (n+1)/2 個,偶数が (n-1)/2 個だから、

  {(n+1)/2}2+{(n-1)/2}2=(n2+1)/2 であり、

  nが偶数のとき、奇数・偶数ともに n/2 個だから、(n/2)2・2=n2/2 だから、

  [(n2+1)/2] 個あります。

 (2) (1)以外に x=z≠y の場合があります。

  x=z≠y の場合は、n個の数から x,y を決める方法 n2=n(n-1) ですので、

  [(n2+1)/2]+n(n-1)=[(n2+1)/2+n(n-1)]=[(3n2-2n+1)/2] 個あります。

 (3) y=(x+z)/2 ,x≧z の場合と x=z>y の場合があります。

  y=(x+z)/2 ,x≧z の場合は、x,z の両方が奇数 または 両方が偶数であればよい。

  nが奇数のとき、奇数が (n+1)/2 個,偶数が (n-1)/2 個だから、

  (n+1)/22(n-1)/22=(n+1)2/4 であり、

  nが偶数のとき、奇数・偶数ともに n/2 個だから、n/22・2=n(n+2)/4 だから、

  [(n+1)2/4] 個あります。

  x=z>y の場合は、n個の数から x,y を決める方法 n2=n(n-1)/2 ですので、

  [(n+1)2/4]+n(n-1)/2=[(n+1)2/4+n(n-1)/2]=[(3n2+1)/4] 個あります。

 本問では n=27 の場合ですので、次のようになります。

 (1) [(272+1)/2]=365 個 (2) [(3・272-2・27+1)/2]=1067 個 (3) [(3・272+1)/4]=547 個

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Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ジャノメエリカでしょうか~
花びらの色が濃いような……

ニリンソウ  
No title

小さい花がびっしりのジャノメエリカ。
庭植えにしたら翌年は枯れてしまった経験が有ります。
教も寒いです。

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
可愛ピンク色♪(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしゃ…エレファントにしかわかりませんでした ^^;…
解答...なんとかトレースできたかなぁ ^^;v

>{(n+1)/2}2+{(n-1)/2}2=(n2+1)/2
>(n+1)/2H2+(n-1)/2H2=(n+1)2/4
と符合がズレているようですね…?

今日はとっても寒いです…ブルブル ;^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ジャノメエリカです。
色は濃いのも薄いのもあると思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
本当に今日は寒いですね。こちらでも雪が舞いました。
ジャノメエリカは寒い時期に咲く、有難い花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
小さな花がビッシリとつく、ピンクの花です。
冬に咲いてくれるのは嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今日は寒いですね。西日本では珍しいことです。
コピペミスのご指摘、有難うございます。早速直しました。

黒翼  
No title

おはようございます。
参戦できずでしたが、答えを見る前に自力で解いてみました。
なんとか答えにたどり着きましたが、絶対値の取り扱いが久しぶりなもので手こずりました。
1つ目を突破したことでコツ?がつかめた気がしました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントをありがとうございます。
空白期間が長かったので、戸惑いもあったかも知れません。
解ければ充実感がありますね。