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[答1068] 球の選び方

ヤドカリ

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[答1068] 球の選び方


 68個の赤球と 50個の青球と 20個の白球が入った袋から 無作為に 68球を取り出すとき、

 取り出す赤球がa個,青球がb個,白球がc個である確率を P とします。

 このとき、個数の組(a,b,c)は全部で何通り? また、P を最大にするときの (a,b,c)=?


[解答1]

 b=0,1,2,3,……,50 の 51通り、c=0,1,2,3,……,20 の 21通り、

 (b,c)=(50,20),(50,19),(49,20) を除いて a=68-b-c とすればよいので、

 個数の組(a,b,c)は 51・21-3=1071-3=1068 通りです。

 P を b,c の関数と考え、P=P(b,c) として、最大になるときの (b,c) を求めます。

 P(b,c)=68a50b20c/13868=68!・50!・20!・68!・70!/{138!・a!・(68-a)!・b!・(50-b)!・c!・(20-c)!} 、

 ここで、簡単のため 68!・50!・20!・68!・70!/138!=k とし、a=68-b-c を代入すれば、

 P(b,c)=k/{(68-b-c)!・(b+c)!・b!・(50-b)!・c!・(20-c)!} になり、

 P(b-1,c)=k/{(69-b-c)!・(b+c-1)!・(b-1)!・(51-b)!・c!・(20-c)!} 、

 P(b,c-1)=k/{(69-b-c)!・(b+c-1)!・b!・(50-b)!・(c-1)!・(21-c)!} です。

 P(b,c)≧P(b-1,c) となるとき、P(b,c)/P(b-1,c)≧1 、(69-b-c)(51-b)/(b+c)b≧1 、

 3519-69b-51(b+c)+(b+c)b≧(b+c)b 、-120b≧-3519+51c 、b≦(1173-17c)/40 になり、

 c を固定すれば、b=[(1173-17c)/40] のとき P(b,c)は最大で、

 b=[(1173-17c)/40] は c について広義単調減少です。

 P(b,c)≧P(b,c-1) となるとき、P(b,c)/P(b,c-1)≧1 、(69-b-c)(21-c)/(b+c)c≧1 、

 1449-69c-21(b+c)+(b+c)c≧(b+c)c 、-90c≧-1449+21b 、c≦(483-7b)/30 になり、

 b を固定すれば、c=[(483-7b)/30] のとき P(b,c)は最大で、

 c=[(483-7b)/30] は b について広義単調減少です。

 0≦c≦20 より 20≦[(1173-17c)/40]≦29 、20≦b≦29 のとき 9≦[(483-7b)/30]≦11 、

 9≦c≦11 のとき 24≦[(1173-17c)/40]≦25 、24≦b≦25 のとき [(483-7b)/30]=10 、

 c=10 のとき [(1173-17c)/40]=25 なので、b=25,c=10 のとき P(b,c)は最大になり、

 (a,b,c)=(33,25,10) のときです。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

 b=0,1,2,3,……,50 の 51通り、c=0,1,2,3,……,20 の 21通り、

 (b,c)=(50,20),(50,19),(49,20) を除いて a=68-b-c とすればよいので、

 個数の組(a,b,c)は 51・21-3=1071-3=1068 通りです。

 P=68a50b20c/13868 であり,

 68a は aが34に近いほど,50b は bが25に近いほど,20c は cが10に近いほど大きく,

 Pを最大にする(a,b,c)は,(34,25,9),(34,24,10),(33,25,10)に限定される.

 (これら3つは,68a50b20c のうちの2つがとり得る最大値で,残る1つは最大に次ぐ値であり,

  これら3つ以外は,68a50b20c のうち,あり得る最大値になるのは高々1つしかないからです.)

 209/2010=10/11 ,5024/5025=25/26 ,6833/6834=34/35

 であり,このうちでは 6833/6834 が最大だから,

 Pが最大のとき,(a,b,c)=(33,25,10) .

.

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Comments 12

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黒翼  
No title

やはりP最大が面倒ですね。
大体の見当はつくのですが、検討が大変ですね。

ひとりしずか  
No title

温室の花ですか?
花火を思い出しました~

黒翼  
No title

初歩的な質問ですが、広義単調減少であることはあえて断っておくべきなのでしょうか?
意図は十分想像できるのですが、なくても最後の部分は問題なく展開できそうな気もするのですが…

ニリンソウ  
No title

このピンクなら鉢でも咲きます
「サンゴバナ」違うかな~?

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしにゃ難しいですばい ^^;
おおまかに...
68-50-20
34-25-10
なので…合計が69個ならこれが最大になるはずで…
1個だけ変動させるなら...一番大きいものを動かすのが変動は一番少ないはずと考えました…so…70個でも35-25-10が最大だと思いましたけど…^^;…Orz~

たけちゃん  
No title

Pを最大にするa,b,cを求める部分は,私は次のようにしました.

P=(68Ca)(50Cb)(20Cc)/(138C68)であり,
68Caはaが34に近いほど,50Cbはbが25に近いほど,20Ccはcが10に近いほど大きく,
Pを最大にする(a,b,c)は,(34,25,9),(34,24,10),(33,25,10)に限定される.
(これら3つは,68Ca,50Cb,20Ccのうちの2つがとり得る最大値で,
残る1つは最大に次ぐ値であり,
これら3つ以外は,
68Ca,50Cb,20Ccのうち,あり得る最大値になるのは高々1つしかないからです.)

(20C9)/(20C10)=10/11,(50C24)/(50C25)=25/26,(68C33)/(68C34)=34/35
であり,このうちでは(68C33)/(68C34)が最大だから,
Pが最大のとき,(a,b,c)=(33,25,10).

なお,「70個を選ぶ」は「68個を選び,選択/非選択を反転する」と同じだから,
70個選ぶ場合の確率最大は当然に「赤35青25白10」ですね.

ヤドカリ  
No title


写真の花はジャスティシアオーレアです。
キツネノマゴ科で、
原産地はメキシコ南部~中央アメリカです。
花の文化園の温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントをありがとうございます。
説明は丁寧にする方が良いと思い、
広義単調減少という言葉を使いました。
どの程度の説明をするかは個人の感覚によると思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
言われてみれば花火のようですね。
仰る通り、温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
サンゴバナは同種の植物だそうです。形がそっくりですね。
この花は、上記のように、ジャスティシアオーレアといいます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
大まかな値は簡単に分かると思います。
きちんと示す姿勢が他の問題でも役立つと思います。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
最初、貴殿の解答を一緒に掲載しようと思ったのですが、
いつの間にか失念しておりました。
遅ればせながら、解答に加えさせていただきました。