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[答1069] 2つの正多角形

ヤドカリ

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[答1069] 2つの正多角形


 2つの正n角形があり、一方の正n角形の1辺の長さは 86 であり、

 その辺を 30,26,30 に分ける点すべてが 他方の正n角形の辺上にあります。

 このとき、2つの正n角形の重なっていない部分のすべての面積の和を Sn とします。

 S3=1182√3 ,S4=2476 ですが、n → ∞ のとき Sn → ?


[解答]

 正n角形の1つの外角は 2π/n なので、Sn は、

 頂角が π-2π/n ,底角が π/n である二等辺三角形 2n 個の面積の和で、

 そのうち、n個は等辺が 30 のもので、n個は 底辺が 26 のものです。

 以下、簡単のため π/n=θ とすれば、頂角は π-2θ ,底角は θ です。

 また、底辺:等辺=sin(π-2θ):sinθ=sin2θ:sinθ=2sinθcosθ:sinθ=2cosθ:1 です。

 等辺が 30 のものの面積は (1/2)・30・(30・2cosθ)sinθ=900sinθcosθ 、

 底辺が 26 のものの面積は (1/2)・26・{26/(2cosθ)}sinθ=169sinθ/cosθ なので、

 Sn=n(900sinθcosθ+169sinθ/cosθ)=(π/θ)(900sinθcosθ+169sinθ/cosθ)

  =(sinθ/θ)π(900cosθ+169/cosθ) 、

 n → ∞ のとき θ → +0 なので、sinθ/θ → 1 ,cosθ → 1 、

 Sn → π(900+169)=1069π です。


[略解]

 正n角形の1つの外角は 2π/n なので、頂角が π-2π/n である二等辺三角形面積について、

 その面積は、等しい 等辺の、頂角が 2π/n である二等辺三角形の面積と等しく、

 n個を集めると、等辺と等しい半径の円に内接する正n角形の面積になります。

 n個は等辺が 30 のもので、面積の和は 半径が30の円に内接する正n角形の面積、

 n個は 底辺が 26 のもので、n → ∞ のとき 等辺 → 底辺/2 ですので、

 面積の和は 半径が13の円に内接する正n角形の面積に近づきます。

 n → ∞ のとき 正n角形の面積 → 円の面積 ですので、

 Sn → 302π+132π=1069π です。

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Comments 13

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黒翼  
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おはようございます。
こんなにシンプルに解けたものなんですね。
僕のはちょっと遠回りだったかもしれません。
省エネで解かねばと反省しております。

ひとりしずか  
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黄色の芯がアクセントになって……

ゆうこ つれづれ日記  
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おはようございます。
ブルー系のお花って清々しいものがありますね。
ブルーポピーにもちょっと似ているような・・・・
ナイス☆

uch*n*an  
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なるほど。厳密さはともかく[略解]の考え方は面白いですね。参考になります。

ニリンソウ  
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今日も目が覚めるようなブルーの花
雫が付いてるから外咲きかな、セントポーリアに似てるな。 こちらも雨になりました。

ナイス

ヤドカリ  
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写真の花はセントポーリアです。
イワタバコ科の属で、和名はアフリカスミレ、
ケニア南部とタンザニア北部の山地に生息するそうです。
花の文化園の温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントをありがとうございます。
必要なことの抜けがないシンプルな解答、
そうなるように心掛けている心算ですが、
いい方法があれば教えてくださいね。

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青い花に黄色の蕊は目立ちます。
仰るように、アクセントになっていますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
紫の花は多いのですが、ブルーは意外に少ないです。
花は、上記のように、セントポーリアです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
[略解]の内容をイメージして作問しました。
[解答]はそれを厳密にしただけで、
流石に、[解答]に気づいての作問は私には無理だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、セントポーリアです。
温室内で見たものです。
ところで、昨日今日は気温が上がりましたが、
明日は寒いそうですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
式が[略解]のようになったにも関わらず...略解の図は想定外…^^;
略解からこの問題を逆に作れるのってのも高難度の技と思えちゃいますが…^^...面白い問題でしたのね☆

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「面白い問題」と評価いただき、有難うございます。
極限というのも図形的には興味深いですね。