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[答1071] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1071] 漸化式で表された数列


 an+3=3an+2-3an+1+an (n=1,2,3,……) で表される数列{ an }があって、

 a1=70 ,a7=1 ,a8=7 のとき、a27=?


[解答1]

 an+3-2an+2+an+1=an+2-2an+1+an だから、

 数列{an+2-2an+1+an}は定数で、an+2-2an+1+an=a3-2a2+a1 です。

 a3-2a2+a1=c とおけば、an+2-2an+1+an=c 、(an+2-an+1)-(an+1-an)=c だから、

 数列{an+1-an}は 公差 c の等差数列、an+1-an=a2-a1+c(n-1) になり、

 a2-a1-c=d とおけば、an+1-an=cn+d になります。

 これは、数列{an}の階差数列が{cn+d}であることを意味し、

 Σを k=1 から k=n-1 までの和として、n≧2 において、

 an=a1+Σ(ck+d)=70+c(n-1)n/2+d(n-1) で、この式は n=1 のときも成立します。

 an=70+c(n-1)n/2+d(n-1) に n=7,8 を代入して、

 a7=70+21c+6d=1 ,a8=70+28c+7d=7 、これを解いて、c=5 ,d=-29 になり、

 an=70+5(n-1)n/2-29(n-1)=(5n2-63n+198)/2=(5n-33)(n-6)/2 です。

 a27=(5・27-33)(27-6)/2=102・21/2=1071 です。


[解答2]

 (an+3-an+2)-(an+2-an+1)=(an+2-an+1)-(an+1-an) だから、

 {an}の第2階差数列が定数になります。

 一般に 第k階差数列が定数になる数列の一般項 an はnのk次式になりますので、

 an はnの2次式になり、an=an2+bn+c とおけますが、

 a1=70 ,a7=1 ,a8=7 として 連立方程式を解いて a,b,c を求める計算が面倒なので、

 a7=1 ,a8=7 となる1次式は 6n-41 であることを利用して、

 an=a(n-7)(n-8)+6n-41 とおきます。 

 a1=42a-35=70 なので、a=5/2 、

 an=5(n-7)(n-8)/2+6n-41=(5n2-63n+198)/2=(5n-33)(n-6)/2 です。

 a27=(5・27-33)(27-6)/2=102・21/2=1071 です。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
いろいろお花が咲き出しましたね♪きれいな色のお花ですね(o^-^o)

ひとりしずか  
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わぁ~花色が強烈な印象に~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

うわっ!
きれいなお花です~~~
ブルー系のお花っていいですね。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

あ! 雪割草だ。
そちらではミスミソウと言うのですか。
青もいいですね。 お山かな?

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしには勉強になりましたぁ☆
[解答2]は巧すぎますが…
そのように使えるようになりたいです^^;v Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
春はいろんな花が咲き出しますね。
色とりどり、心も張るというものです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青色が目立つ花です。
枯葉の中に花が見られると春を感じます。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私も綺麗な花だと思って撮りました。
雪割草のブルーが色鮮やかでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
もちろん、ミスミソウとも雪割草ともいいます。
写真の花は、花の文化園で見たものですが、
屋外で咲きだしていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
3点を通る放物線を求めるときも[解答2]の方法を使うと早いです。
説明するのは手間がかかりますが。