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[答1072] 山折・谷折

ヤドカリ

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[答1072] 山折・谷折


 長方形の紙の上を固定し、下を上に折り返すことを3回繰り返して広げると、折り目は7本で、

 図は、その折り目のうち山折になっているものを青,谷折になっているものを赤で示し、

 上から順に 1 から 7 の番号を書いたものです。

 山折の番号の総和は 3+6+7=16 ですが、

 折り返しが6回で、1 から 63 の番号をつけるとき、山折の番号の総和は?

 また、折り返しがn回で、1 から 2n-1 の番号をつけるとき、山折の番号の総和は?

 ただし、紙は十分薄く、n回折ることができるものとします。


[解答1]

 山折の番号の総和を S ,谷折の番号の総和を T とします。

 S+T=1+2+3+……(2n-1)=(2n-1)・2n/2=2n-1・(2n-1) です。

 k回目の折り目 2k-1 本を入れると、それまでの折り目の番号は2倍になり、

 その時点でk回目の折り目の番号は奇数であり、k≧2 のとき、

 1,5,9,……,2k-3 と、4で割って1余る番号が谷折で、

 3,7,11,……,2k-1 と、4で割って3余る番号が山折です。

 その番号の差は 2・2k-2=2k-1 で、その後、(n-k)回折って、番号は 2n-k 倍になるので、

 番号の差は最終的に 2k-1・2n-k=2n-1 です。

 また、1回目の折り目は谷折りで、最終的な番号は 2n-1 です。

 よって、S-T=2n-1・(n-1)-2n-1=2n-1・(n-2) です。

 従って、S={2n-1・(2n-1)+2n-1・(n-2)}/2=2n-2・(2n+n-3) です。

 n=6 のとき、26-2(26+6-3)=16・67=1072 です。


[解答2]

 折り返しがn回のときの折り目の番号のうち山折の番号の総和を an とします。

 (n+1)回目の折り目を入れると、n回目までの折り目の番号は2倍になり、

 (n+1)回目の折り目の番号は奇数であり、

 3,7,11,……,2n+1-1 と、4で割って3余る番号が山折ですので、

 その和は (3+2n+1-1)・2n-1/2=2n-1(2n+1) 、

 よって、an+1=2an+2n-1(2n+1) 、an+1/2n+1=an/2n+(2n+1)/4 、

 これは、数列{ an/2n }の階差数列が{ (2n+1)/4 }であることを表しており、

 a1=0 に注意して、n≧2 のとき、

 an/2n=a1/21+(21+1)/4+(22+1)/4+(23+1)/4+……+(2n-1+1)/4

  =0/2+2(2n-1-1)/4+(n-1)/4=(2n+n-3)/4 、

 an=2n(2n+n-3)/4=2n-2(2n+n-3) です。

 従って、a6=26-2(26+6-3)=16・67=1072 です。


[参考]

 与えられた番号が 山折になるか谷折になるかは、

 番号を2で割れるだけ割って奇数にし、その奇数を4で割って、

 余りが1であれば谷折,余りが3であれば山折です。

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Comments 6

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ひとりしずか  
No title

ペチコート水仙と呼ばれる花かしら?
ユニークな形のスイセン……

ニリンソウ  
No title

ナルキッスス・(ペチコートスイセン)
黄色、白とあるようです、
植物園だけで見ます。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
どうも抽象的な操作が苦手なわたしみたいです ^^;
どう考えていいものかさっぱり思い至れないまま…
具体的には…
山折の位置:1, 谷折の位置:0で表すと...
1回・・・0
2回・・・0(0)1
3回・・・001(0)011・・・反転してる…
4回・・・0010011(0)0011011
5回・・・0010011(0)0011011(0)001001110011011
6回・・・
0(0)1(0)011(0)0011011(0)001001110011011(0)0010011000110111001001110011011

so…
3+6+7+11+12+14+15+19+22+23+24+27+28+30+31+35+38+39+43+44+46+47+48+51+54+55+56+59+60+62+63=1072

なんて、エレファントに求めることはできたものの…
この手はわたしにゃ無理かもしんない…^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ペチコートスイセンとも呼ばれますが、
ナルキサス・バルボコディウムと呼ばれる原種スイセンです。
素朴で美しい花だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
黄色のはナルキサス・バルボコディウム、
白いのはナルキサス・カンタブリクスのようです。
明日にでも白いのをアップする予定です。
植物園で見ますが、通販でも売られているようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
折ったものを1回ずつ広げると分かり易いと思います。
山折と谷折を番号で区別できれば解けると思います。