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[答1074] 4個の正三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1074] 4個の正三角形


 同一平面上に 4個の正三角形 △ABC,△ADE,△BEP,△DCQ があり、

 △ABCの1辺の長さが 16,△ADEの1辺の長さが 21 のとき、PQの長さの範囲は?

 範囲は □≦PQ≦□ の形に表して下さい。

 なお、ABC,ADE,BEP,DCQ は左回りであり、正三角形どうしは重なる場合もあります。


[解答]

 (1+i√3)/2=w とすれば w2=(-1+i√3)/2=w-1 です。

 次に、複素平面上で、A(0),B(b),D(d),P(p),Q(q) とすれば、C(bw),E(dw) です。

 また、p-b=(dw-b)w だから、

 p=dw2-bw+b=dw2-b(w-1)=dw2-bw2=(d-b)w2

 更に、q-d=(bw-d)w だから、

 q=bw2-dw+d=bw2-d(w-1)=bw2-dw2=(b-d)w2

 よって、|p|=|q|=|d-b||w|2=|d-b| より、AP=AQ=BD となって、

 p+q=0 だから AはPQの中点で、PQ=2BD です。

 AD-AB≦BD≦AD+AB より 21-16≦BD≦21+16 、5≦BD≦37 、10≦2BD≦74 、10≦PQ≦74 です。

 なお、PQ=10 になるのは、A,B,Dがこの順に一直線上にあるとき、

 なお、PQ=74 になるのは、B,A,Dがこの順に一直線上にあるときです。


☆ 先人の誰かが気づいていたと思いますが、AがPQの中点であることを見つけました。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

こんにちわ。
青空にピンク~♪
いろいろな桜、いよいよですね、うれしくなります(o^-^o)

樹☆  
No title

おはようございます
昨日は啓蟄の日でしたね。
サボってばかりのブログです。虫も動き出すころ、
わたしも動かねば・・忘れられそうです。
河津桜でしょうか。。青い空にとても映えてますね。

ニリンソウ  
No title

さ く ら
誰もが待ってる花ですね~種類はいろいろあっても
ソメイヨシノがいつかな
この辺は4月8日頃だそうです。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
面白い性質をまた発見されましたのねぇ☆
わたしゃ...何の根拠もなく…求めてみたまででしたのですけど ^^;;
Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
桜の季節、真っ先に咲くのが河津桜、
他の桜が春遅しと待っているときに満開でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
立春・雨水・啓蟄・春分と、春は季節がどんどん進みます。
仰る通り、河津桜、これは大仙公園のものですが、長居公園でも満開でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
もうすぐ桜の季節、河津桜・大寒桜・寒緋桜…、
これから、いろいろ見られるとともに、忙しくなります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
図形には知らない性質がいろいろあると思います。
そんな性質を1つでも見つけられたら嬉しいですね。

ひとりしずか  
No title

青い空にピンクの花びら、お花見気分(^^♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
桜はやはり青空の下で撮りたいです。
そんな日を狙っていました。