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[答1075] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1075] 漸化式で表された数列


 an=(an-1+an+1)/2-1 (n=2,3,4,……) で表される数列{ an }があって、

 そのうちの ある隣り合う2項が 175,201 であり、ある連続する55項の和が 209605 であるとき、

 この55項の最初の項をA,最後の項をB とするとき、(A,B)=?


[解答]

 an=(an-1+an+1)/2-1 より、2an=an-1+an+1-2 、

 (an+1-an)-(an-an-1)=2 となります。

 これは、{ an }の第2階差数列が 定数 2 になることを表しており、

 an は n2 の係数が 1 である nの2次式になります。

 ここで、f(x)=x(x+25)+175 とおけば、f(0)=175,f(1)=201 になりますので、

 an=f(z+n) または an=f(z-n) を満たす整数zが存在します。

 ( 201 が 175 の、直後のとき an=f(z+n),直前のとき an=f(z-n) )

 an=f(z+n) のとき A=f(N) ,B=f(N+54) とします。

 f(N+k)=(N+k)(N+k+25)+175=k2+(2N+25)k+(N2+25N+175) 、

 A から B までの 55項は k=0,1,2,……,53,54 の場合で、その和は、

 54・55・109/6+(2N+25)・54・55/2+(N2+25N+175)・55=209605 、

 54・109/6+(2N+25)・54/2+(N2+25N+175)=3811 、

 9・109+27(2N+25)+(N2+25N+175)=3811 、N2+79N-1980=0 、

 (N+99)(N-20)=0 、N=-99,20 、

 N=-99 のとき、A=f(-99)=(-99)(-99+25)+175=7501 、

  B=f(-99+54)=f(-45)=(-45)(-45+25)+175=1075 、

 N=20 のとき、A=f(20)=20(20+25)+175=1075 、

  B=f(20+54)=f(74)=74(74+25)+175=7501 です。

 an=f(z+n) のとき A=f(N+54) ,B=f(N) として同様に、

 N=-99 のとき、B=f(-99)=7501 、A=f(-99+54)=1075 、

 N=20 のとき、B=f(20)=1075 、A=f(20+54)=7501 です。

 いずれの場合も、(A,B)=(1075,7501),(7501,1075) です。

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Comments 14

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
なんですか~この梅は赤と白とが交互に並んで咲く?
まさかくっつけた訳じゃないようだし 笑

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
咲き分けの梅でしょうか
ピンクと白の花が綺麗に並んで見事ですネ

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
「想いのまま」紅白のお花がうまい具合についていますね(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

あれれ~~~
一本の枝にピンクと白のお花が交互に
咲いていますね。
梅の花ですか~~?
このような梅の花もあるのですね。
ナイス☆

ひとりしずか  
No title

オモイノママ素敵ですね!

ひとりしずか  
No title

源平咲きと同じかしら?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
計算を何回かミスって整数にならず途中諦めかけましたが…
粘って滑り込みセーフ ^^;v
55項の真ん中を求めて,計算し(させ)ました…^^;;
解答のように解けるようになりたいものです Orz~☆

スモークマン  
No title

🌸源平咲き🌸
粋な呼び名ですねぇ ^^♪
でも、何でこんな風に上手く紅白に咲くのか不思議ぃ~~~?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
紅白の花が咲く梅をよく見るようになりましたが、
こんなにうまく交互に咲いているのを初めて見ました。
得したような気分です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
細い枝では枝毎に同じ色の花が咲いているのはよく見ますが、
1本の細い枝に紅白の両方が交互に咲いているのは初見でした。
上手く咲いたものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「想いのまま」以外に紅白の花が咲く梅の種類があるのかどうか、
私は知りませんが、うまい具合に交互に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「想いのまま」という品種の梅は、
紅白の花が咲きますし、よく見かけるようになりましたが、
こんなにうまい具合に咲いている梅を見るのは初めてです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
紅白の花が咲くのを源平咲きというようですが、
この言葉は梅以外にも使いますね。
季節的にまだですが、桃もよく見ますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
問題を解くときに、全体を把握していると間違えても分かりますね。
「源平咲き」については、日本語の豊かさを感じますし、
花は花で美しいですね。