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[答1076] 27倍に1を加えると平方数

ヤドカリ

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[答1076] 27倍に1を加えると平方数


 27・25+1=676,27・29+1=784 のような、27n+1 が平方数になるような自然数nがあります。

 27n+1 が平方数で n<10000 を満たす自然数nは 25,29 を含めて何個?

 また、27n+1 が平方数で n≧10000 を満たす最小の自然数nは? 


[解答]

 mを自然数として、27n+1=m2 (m>1) とおけば、(m+1)(m-1)=27n 、

 ここで、m+1,m-1 の両方が3の倍数になることはないので、片方が 27の倍数、

 kを自然数として、m=27k±1 と表されることになり、

 27n=(m+1)(m-1)=(27k±1+1)(27k±1-1)=(27k+2)・27k,27k・(27k-2)

 n=k(27k±2)=27k2±2k になります。

 27k2≒10000 とすれば k2≒370 、k≒19 です。

 k=19 のとき n=27k2±2k=9747±38=9785,9709 、

 k=20 のとき n=27k2±2k=10800±40=10840,10760 です。

 27k2+2k,27k2-2k は単調増加ですので、

 n<10000 を満たす自然数nは k≦19 のときの 38個、

 n≧10000 を満たす最小の自然数nは n=10760 です。

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Comments 8

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます

真っ白のアセビも良いですがピンクのアセビ可愛いですネ

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんと、かわいいですね~(o^-^o)
白いお花ですが、城南宮でも見られて撮ってきましたよ♪

ひとりしずか  
No title

花がきれいに密に並び咲いていますネ
毛越寺の生垣に植えられていますが、
満開の時期観はぐれてばかりで

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
真っ白のアセビも見られましたので、明日にでもアップする予定です。
アセビはたくさん咲いているのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白い馬酔木を撮られましたか。私も撮り、アップする予定です。
可愛い花が団体でいるのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
お寺の生垣だったら、背景も風情があるでしょうね。
今年は満開のときに行ければいいですね。

ニリンソウ  
No title

あ! 前日に赤を乗せていたんですね。
こちらはこれからですよ、蕾がみえています。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ピンクの馬酔木が鈴なりに咲いていました。
そちらでも、もうすぐなのですね。