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[答1077] 正三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1077] 正三角形の面積


 面積が S である正三角形の折り紙ABCがあり、Aが 辺BC上の点Dに一致するように折ったとき、

 折り目と辺CAの交点をE,折り目と辺ABの交点をF とします。

 △BDF=28,△CED=14 とするとき、S=?


[解答]

 ∠BDF=180゚-∠FDE-∠EDC=180゚-60゚-∠EDC=180゚-∠C-∠EDC=∠CED だから、

 ∠B=∠C=60゚ と併せて、△BDF∽△CED になり、BD=kCE ,DF=kED ,BF=kCD とおけ、

 AF=DF=kED ,AE=DE です。

 AF+FB=BD+DC より、kED+kDC=kCE+DC 、kED=kCE-(k-1)DC ……(1) 、

 CE+EA=BD+DC より、CE+ED=kCE+DC 、ED=(k-1)CE+DC ……(2) 、

 (1)+(2)×(k-1) を計算して (2k-1)ED=(k2-k+1)CE 、

 (2)×k-(1)×(k-1) を計算して k(2-k)ED=(k2-k+1)DC です。

 △AFE:△BDF:△CED=AF・AE:BD・BF:CE・CD=kED・DE:kCE・kCD:CE・CD

  =k(2-k)ED・(2k-1)DE:k2(2-k)(2k-1)CE・CD:(2-k)(2k-1)CE・CD

  =(k2-k+1)DC・(k2-k+1)CE:k2(2-k)(2k-1)CE・CD:(2-k)(2k-1)CE・CD

  =(k2-k+1)2:k2(2-k)(2k-1):(2-k)(2k-1) です。

 また、△ABC=2△AFE+△BDF+△CED ですので、

 △ABC/△CED={2(k2-k+1)2+(k2+1)(2-k)(2k-1)}/{(2-k)(2k-1)}

  =(k+1)2k/(2-k)(2k-1)=(k+1)2/{(2-k)(2-1/k)}です。

 本問では △CED=14 ,k=√2 なので、

 △ABC/14=(√2+1)2/{(2-√2)(2-1/√2)}=(√2+1)2/{(√2-1)(2√2-1)}

  =(√2+1)3(2√2+1)/7=(27+19√2)/7 、

 △ABC=14(27+19√2)/7=2(27+19√2) です。


[参考]

 △ABC/△CED=(k+1)2/{(2-k)(2-1/k)}ですので、

 △BDF=S ,△CED=T とすれば、√S=k√T になり、

 △ABC=(k+1)2T/{(2-k)(2-1/k)}=(k√T+√T)2/{(2-√(S/T))(2-√(T/S))} 、

 △ABC=(√S+√T)2/{(2-√(S/T))(2-√(T/S))} と書けます。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

葉はショウジョウバカマのような……
ツクシショウジョウバカマ?
春の喜びが感じられます

さっちゃんこ  
No title

おはようございます

ショウジウバカマの花なのでしょうか
此方では余り見ることの無い花ですネ

沢山の白い花が一杯で可愛い花ですネ

ナイス☆彡

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
白いお花、大好きです。
なんと言うお花なのかな~~~
植物園で咲いているのですか?

ナイス☆

ニリンソウ  
No title

こんにちは~いい天気!!
葉っぱはショウジョウバカマですが花は違う
仲間かな~笑

ナイス

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
相似に気づけるまでは…暗中与作…^^;
それにしても、[参考]の式はなかなか奇麗ですねぇ☆

ヤドカリ  
No title


写真の花はオオシロショウジョウバカマです。
日本固有種で、鹿児島県の徳之島、
沖縄県の沖縄島北部・石垣島・西表島に分布するそうです。
花の文化園でも長居植物園でも見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ショウジョウバカマです。
上に記しましたように、南西諸島以南に咲く花です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、宮崎よりもっと南で見られる花です。
絶滅危惧種だそうですが、いつまでも見られるといいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は普通のショウジョウバカマも綺麗に思いますが、
南国原産のこのショウジョウバカマは特別に綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
雰囲気からしてショウジョウバカマですが、ちょっと違いますね。
上に記しましたように、南西諸島のような南でも咲くのですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コピペミスの指摘も有難うございます。
一般化すると、面白い式が出てきました。