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[答1078] 円周とその内部

ヤドカリ

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[答1078] 円周とその内部


 すべての実数 k について、xy平面上の次の領域に共通に含まれる図形の面積は?

 x2+y2-(4k2-8k+4)x+(3k2-6k-11)y+(4k2-8k+3)≦0


[解答1]

 (-4x+3y+4)k2+(8x-6y-8)k+(x2+y2-4x-11y+3)≦0 、

 (4x-3y-4)k2-2(4x-3y-4)k-(x2+y2-4x-11y+3)≧0 が、

 すべての実数 k について成り立つのは、次のいずれかの場合です。

 (1) 4x-3y-4=0 かつ -(x2+y2-4x-11y+3)≧0 のとき

 (2) 4x-3y-4>0 かつ (4x-3y-4)2+(4x-3y-4)(x2+y2-4x-11y+3)≦0 のとき

 (1)のとき、x=3y/4+1 を x2+y2-4x-11y+3≦0 に代入して、

  (3y/4+1)2+y2-4(3y/4+1)-11y+3≦0 、9y2/16+3y/2+1+y2-3y-4-11y+3≦0 、

  25y2/16-25y/2≦0 、25y(y-8)≦0 、0≦y≦8 、x=3y/4+1 だから、

  y=0 のとき x=1 ,y=8 のとき x=7 になって、(1,0),(7,8)を結ぶ線分です。

 (2)のとき、(4x-3y-4)2+(4x-3y-4)(x2+y2-4x-11y+3)≦0 で、

  4x-3y-4>0 だから、 (4x-3y-4)+(x2+y2-4x-11y+3)≦0 、

  x2+y2-14y-1≦0 、x2+(y-7)2≦50 、

  また、4x-3y-4=0 ,(4x-3y-4)+(x2+y2-4x-11y+3)=0 の交点は (1,0),(7,8) 、

  よって、中心が(0,7),半径が 5√2 の円の周囲を含む内側で (1)の線分の下側です。

 図のように、面積は π(5√2)2/4-(5√2)2/2=25π/2-25 です。


[解答2]

 x2+y2-(4k2-8k+4)x+(3k2-6k-11)y+(4k2-8k+3)≦0 で、

 2K=k2-2k+1 とおけば、K≧0 で、

 x2+y2-8Kx+(6K-14)y+(8K-1)≦0 、x2+y2-14y-1-2K(4x-3y-4)≦0 、

 ここで、円 x2+y2-14y-1-2K(4x-3y-4)=0 は、

 x2+y2-14y-1=0 ,4x-3y-4=0 の交点を必ず通ります。

 x=3y/4+1 を x2+y2-4x-11y+3=0 に代入して、

 (3y/4+1)2+y2-4(3y/4+1)-11y+3=0 、9y2/16+3y/2+1+y2-3y-4-11y+3=0 、

 25y2/16-25y/2=0 、25y(y-8)≦0 、y=0,8 、x=3y/4+1 より 交点は (1,0),(7,8)です。

 また、(x-4K)2+(y+3K-7)2≦25K2-50K+50 だから、

 中心が(4K,-3K+7)で、(1,0),(7,8)を通る円の周囲および内部です。

 (1,0),(7,8)を通る直線は y=4x/3-4/3 であり、

 K≧0 ですので、中心は y=-3x/4 (x≧0) の部分にあります。

 (1,0),(7,8)を端点とする弧は、y≦4x/3-4/3 の部分では Kが増えるほど大きくなり、

 y≧4x/3-4/3 の部分では Kが増えるほど(1,0),(7,8)を端点とする線分に近づくので、

 条件に合う図形は、中心が(0,7),半径が 5√2 の円の周囲を含む内側を

 (1,0),(7,8)を結ぶ弦で分けるときの中心を含まない方です。

 図のように、面積は π(5√2)2/4-(5√2)2/2=25π/2-25 です。

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Comments 6

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

黄色いシベが……

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
けっきょく気づけないままでしたが…^^;
了解できました☆
なお、結論は...25π/2ー25 ですね ^^ Orz~

🌸と掲載図がマッチィンgoo~🌸

アキチャン  
No title

こんばんわ。
清楚で綺麗ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花は、ユキワリイチゲで、本州西部から九州に分布する多年草です。
花弁のように見えるのは顎片だそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
2次以下の式が常に0以上や0以下になる条件は基本です。
タイプミスにご指摘に感謝します。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真の花は、ユキワリイチゲで、本州西部から九州に分布する多年草で、
秋に葉を出し、3月に花を開いてやがて地上部が枯れるそうです。