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[答1079] 三角形の辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1079] 三角形の辺の比


 鋭角三角形ABCがあって、その外心を O とします。

 △OBC:△OCA:△OAB=250:539:459 のとき、BC:CA:AB=?



[解答1]

 一般化して △OBC:△OCA:△OAB=L:M:N とします。

 また、BC=a ,CA=b ,AC=c ,外接円の半径を R とします。

 L:M:N=△OBC:△OCA:△OAB=(1/2)R2sin2A:(1/2)R2sin2B:(1/2)R2sin2C

  =2RsinAcosA:2RsinBcosB:2RsinCcosC

  =a(b2+c2-a2)/bc:b(c2+a2-b2)/ca:c(a2+b2-c2)/ab

  =a2(b2+c2-a2):b2(c2+a2-b2):c2(a2+b2-c2) 、

 a2(b2+c2-a2)=kL ,b2(c2+a2-b2)=kM ,c2(a2+b2-c2)=kN とします。

 kM-kN=a2(b2-c2)-(b2+c2)(b2-c2)

  =(b2-c2)(a2-b2-c2)=(b2-c2)(-kL/a2) 、

 a2(kM-kN)=-kL(b2-c2) 、a2(M-N)=-Lb2+Lc2

 同様に、b2(N-L)=-Mc2+Ma2

 よって、a2(M-N)M+b2(N-L)L=LMa2-LMb2 、b2(N-L+M)L=M(L-M+N)a2

 a2:b2=L(M+N-L):M(N+L-M) 、

 同様に、a2:b2:c2=L(M+N-L):M(N+L-M):N(L+M-N) です。

 本問では、L=250,M=539,N=459 だから、

 a2:b2:c2=250・748:539・170:459・330

  =25・10・4・11・17:11・49・10・17:27・17・3・10・11=50・2:49:27・3=100:49:81 、

 BC:CA:AB=a:b:c=10:7:9 です。


[解答2]

 一般化して △OBC:△OCA:△OAB=L:M:N とします。また、外接円の半径を R とします。

 (1/2)R2sin2A:(1/2)R2sin2B:(1/2)R2sin2C=L:M:N 、

 sinAcosA:sinBcosB:sinCcosC=L:M:N 、

 sinAcosA/L=sinBcosB/M=sinCcosC/N=k とおきます。

 sin2BsinCcosC/(Nsin2B)=sin2CsinBcosB/(Msin2C)=k だから、加比の理より、

 k=(sin2BsinCcosC+sin2CsinBcosB)/(Nsin2B+Msin2C)

  =sinBsinC(sinBcosC+cosBsinC)/(Nsin2B+Msin2C)=sinBsinCsin(B+C)/(Nsin2B+Msin2C)

  =sinBsinCsin(π-A)/(Nsin2B+Msin2C)=sinAsinBsinC/(Nsin2B+Msin2C) 、同様に、

 sin2CsinAcosA/(Lsin2C)=sin2AsinCcosC/(Nsin2A)=k より k=sinAsinBsinC/(Lsin2C+Nsin2A) 、

 sin2AsinBcosB/(Msin2A)=sin2BsinAcosA/(Lsin2B)=k より k=sinAsinBsinC/(Msin2A+Lsin2B) 、

 よって、Nsin2B+Msin2C=Lsin2C+Nsin2A=Msin2A+Lsin2B になります。

 (NLsin2B+LMsin2C)/L=(LMsin2C+MNsin2A)/M=(MNsin2A+NLsin2B)/N=K として、

 加比の理より、K=(2MNsin2A+2NLsin2B+2LMsin2C)/(L+M+N) 、

 L+M+N=2S とすれば、K=(MNsin2A+NLsin2B+LMsin2C)/S になり、

 K=(-NLsin2B-LMsin2C)/(-L)=(-LMsin2C-MNsin2A)/(-M)=(MNsin2A-NLsin2B)/(-N) 、

 加比の理より、K=MNsin2A/(S-L)=NLsin2B/(S-M)=LMsin2C/(S-N) 、

 sin2A/{L(S-L)}=sin2B/{M(S-M)}=sin2C/{N(S-N)} 、

 sin2A:sin2B:sin2C=L(S-L):M(S-M):N(S-N) です。

 本問では、L=250,M=539,N=459,S=(L+M+N)/2=624 だから、

 sin2A:sin2B:sin2C=250・374:539・85:459・165

  =5・50・2・11・17:11・49・5・17:27・17・3・5・11=50・2:49:27・3=100:49:81 、

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=10:7:9 です。


[解答3]

 一般化して △OBC:△OCA:△OAB=L:M:N とします。また、外接円の半径を R とします。

 (1/2)R2sin2A:(1/2)R2sin2B:(1/2)R2sin2C=L:M:N 、

 sin2A:sin2B:sin2C=L:M:N になります。

 4sinAcosBcosC=2sinA{cos(B+C)+cos(B-C)}=2sinAcos(B+C)+2sinAcos(B-C)

  =sin(A+B+C)+sin(A-B-C)+sin(A+B-C)+sin(A-B+C)

  =sinπ+sin(2A-π)+sin(π-2C)+sin(π-2B)=-sin2A+sin2C+sin2B

  =sin2B+sin2C-sin2A

 同様に、4cosAsinBcosC=sin2C+sin2A-sin2B ,4cosAcosBsinC=sin2A+sin2B-sin2C 、

 sinAcosBcosC:cosAsinBcosC:cosAcosBsinC=(M+N-L):(N+L-M):(L+M-N) になり、

 2sinAcosA:2sinBcosB:2sinCcosC=L:M:N だから、

 sin2A:sin2B:sin2C=L(M+N-L):M(N+L-M):N(L+M-N) です。

 本問では、L=250,M=539,N=459 だから、

 sin2A:sin2B:sin2C=250・748:539・170:459・330

  =25・10・4・11・17:11・49・10・17:27・17・3・10・11=50・2:49:27・3=100:49:81 、

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=10:7:9 です。

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Comments 13

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

花が浮かび上がってみえます。
絵のように撮れて……とってもすてきです!

アキチャン  
No title

こんにちわ。
かわいいですね~♪(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちわ~
椿なんですか?
花びらが厚い感じのお花なんですね。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

ハイドゥーン椿でしょう!
植物園の有料ドームに今頃咲いたかな?

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
ハイドゥーンですネ
もみじの里のは蕾は出来ていますが開花には未だ時間がかかりそうです

和菓子を思わせるような花姿が好きです

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答3]はエレガント☆…
but...4sinAcosBcosCを考える方法なんてどうやれば思いつけるのかこれまた不思議です☆
わたしゃ...別の角度から攻めて行ったものだからより面倒な計算に陥りましたです…^^;…Orz...

ヤドカリ  
No title


写真の花はハイドゥン椿(海棠椿)で、
もともとはベトナムのグエン王朝(1802~1945)で愛され、
門外不出で「幻の名花」と呼ばれていたそうで、
ベトナムではテト(旧正月)をお祝いする花として、
ハスの花をイメージして仏花として飾られているそうです。
花の文化園で見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上記のように、ハイドゥン椿という花です。
被写体がいいので、うまく撮れた気がします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
かわいい椿の花ですね。
ベトナム北部~中国南部が原産だそうです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、椿の花です。
花弁は実際に厚く、細工物のようでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ハイドゥン椿(海棠椿)です。
このような椿の名前までご存じなのですね。驚きです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
蕾が出来ていれば楽しみですね。
和菓子のように、人工的に作られたような花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
何が条件として与えられていて、何を求めればよいかを考えると、
[解答3]もありだということです。
三角関数はいろんな公式がありますので、
工夫の余地があって面白いです。