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[答1080] 面積の最大値・最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1080] 面積の最大値・最小値


 外接円の半径が 125 で 内接円の半径が 40 の 三角形の面積 S の最大値は? 最小値は?


[解答1]

 3つの角を A,B,C とすると、正弦定理より 3辺は 250sinA,250sinB,250sinC だから、

 S=(1/2)(250sinA)(250sinB)sinC=31250sinAsinBsinC 、

 また、S=(1/2)・40(250sinA+250sinB+250sinC)=5000(sinA+sinB+sinC) です。

 tan(A/2)=a, tan(B/2)=b とおくと、sinA=2a/(1+a2), sinB=2b/(1+b2),

 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB={2a(1-b2)+2b(1-a2)}/{(1+a2)(1+b2)}

  =2(a+b)(1-ab)/{(1+a2)(1+b2)}

 S=31250sinAsinBsinC=5000(sinA+sinB+sinC) より (25/4)sinAsinBsinC=sinA+sinB+sinC 、

 ここで、

 sinA+sinB+sinC=2a/(1+a2)+2b/(1+b2)+2(a+b)(1-ab)/{(1+a2)(1+b2)}

  =2{a(1+b2)+b(1+a2)+(a+b)(1-ab)}/{(1+a2)(1+b2)}

  =4(a+b)/{(1+a2)(1+b2)} だから、

 50ab(a+b)(1-ab)/{(1+a2)(1+b2)}2=4(a+b)/{(1+a2)(1+b2)} 、

 25ab(a+b)(1-ab)=2(a+b)(1+a2)(1+b2) 、25ab(1-ab)=2(1+a2)(1+b2) 、

 a+b=s, ab=t とおくと、25t(1-t)=2(1+s2-2t+t2) 、2s2=-27t2+29t-2=(1-t)(27t-2) 、

 s2-4t≧0 より、2s2-8t≧0 、-27t2+21t-2≧0 、27t2-21t+2≦0 、

 (9t-1)(3t-2)≦0 、1/9≦t≦2/3 、

 S=5000(sinA+sinB+sinC)=20000(a+b)/{(1+a2)(1+b2)}=20000s/(1+s2-2t+t2)

  =40000s/(2+2s2-4t+2t2)=40000s/(2-27t2+29t-2-4t+2t2)

  =40000s/(2+2s2-4t+2t2)=1600s/{t(1-t)}

 S2=1280000・2s2/{t2(1-t)2}=1280000(-27t2+29t-2)/{t2(1-t)2

  =1280000(27t-2)/{t2(1-t)} 、

 f(t)=(27t-2)t-2(1-t)-1 とおけば、

 f'(t)=27t-2(1-t)-1-2(27t-2)t-3(1-t)-1+(27t-2)t-2(1-t)-2

  =t-3(1-t)-2{27t(1-t)-2(27t-2)(1-t)+(27t-2)t}=t-3(1-t)-2(6t-1)(9t-4)

 1/9≦t≦2/3 の範囲で、f(t) と S の増減は一致し、

 1/9≦t≦1/6 で増加 ,1/6≦t≦4/9 で減少 ,4/9≦t≦2/3 で増加 です。

 t=1/9 のとき、2s2=(1-t)(27t-2)=8/9 、s=2/3 、S=1600s/{t(1-t)}=10800 、

 t=1/6 のとき、2s2=(1-t)(27t-2)=25/12 、s=(5√6)/12 、S=1600s/{t(1-t)}=4800√6 、

 t=4/9 のとき、2s2=(1-t)(27t-2)=50/9 、s=5/3 、S=1600s/{t(1-t)}=10800 、

 t=2/3 のとき、2s2=(1-t)(27t-2)=16/3 、s=(2√6)/3 、S=1600s/{t(1-t)}=4800√6 、

 最大値は S=4800√6 (t=1/6,2/3 のとき) ,最小値は S=10800 (t=1/9,4/9 のとき) です。


[解答2]

 1つの内角を 2θ,tanθ=t とすれば、

 その頂点から内接円との接点までの距離は 40/tanθ=40/t になり、

 他の頂点から内接円との接点までの距離を b,c とすれば、

 正弦定理より b+c=250sin2θ=250・2t/(1+t2)=500t/(1+t2) 、

 余弦定理より (b+c)2=(40/t+b)2+(40/t+c)2-2(40/t+b)(40/t+c)cos2θ 、

 (b+c)2=(40/t+b)2+(40/t+c)2-2(40/t+b)(40/t+c)+2(40/t+b)(40/t+c)(1-cos2θ) 、

 (b+c)2=(b-c)2+2(40/t+b)(40/t+c)(1-cos2θ) 、

 4bc=2(40/t+b)(40/t+c)・2t2/(1+t2) 、bc(1+t2)=(40/t+b)(40/t+c)t2

 ここで、

 (40/t+b)(40/t+c)=1600/t2+40(b+c)/t+bc=1600/t2+40・500/(1+t2)+bc

  =1600/t2+20000/(1+t2)+bc なので、

 bc(1+t2)={1600/t2+20000/(1+t2)+bc}t2

 bc=1600+20000t2/(1+t2)=1600+20000{1-1/(1+t2)}=21600-20000/(1+t2) 、

 よって、x=b,c を解とする2次方程式は、

 x2-{500t/(1+t2)}x+{21600-20000/(1+t2)}=0 、

 (1+t2)x2-500tx+{21600(1+t2)-20000}=0 、(1+t2)x2-500tx+(1600+21600t2)=0 、

 判別式は (250t)2-(1+t2)(1600+21600t2)≧0 、-625t2+(1+t2)(16+216t2)≦0 、

 216t4-393t2+16≦0 、(24t2-1)(9t2-16)≦0 、1/24≦t2≦16/9 、(√6)/12≦t≦4/3 です。

 面積は、

 S=(1/2)(40/t+b)(40/t+c)sin2θ=(40/t+b)(40/t+c)t/(1+t2)

  ={1600/t2+20000/(1+t2)+bc}t/(1+t2)

  ={1600/t2+20000/(1+t2)+21600-20000/(1+t2)}t/(1+t2)

  =(1600+21600t2)/{t(1+t2)}=800(27t2+2)/(t3+t) 、

 dS/dt=800{54t(t3+t)-(27t2+2)(3t2+1)}/(t3+t)2

  =-800(27t4-21t2+2)/(t3+t)2=-800(9t2-1)(3t2-2)/(t3+t)2

 (√6)/12≦t≦4/3 の範囲で、S の増減は、

 (√6)/12≦t≦1/3 で減少 ,1/3≦t≦(√6)/3 で増加 ,(√6)/3≦t≦4/3 で減少 です。

 t=(√6)/12 のとき、S=800(27t2+2)/{t(t2+1)=4800√6 、

 t=1/3 のとき、S=800(27t2+2)/{t(t2+1)=10800 、

 t=(√6)/3 のとき、S=800(27t2+2)/{t(t2+1)=4800√6 、

 t=4/3 のとき、S=800(27t2+2)/{t(t2+1)=10800 、

 最大値は S=4800√6 (t=(√6)/12,(√6)/3 のとき) ,最小値は S=10800 (t=1/3,4/3 のとき) です。


[解答3]

 正三角形の場合は 外接円の半径は内接円の半径の2倍ですので、

 この三角形は正三角形ではありません。

 各頂点から内接円との接点までの距離を a,b,c とすれば、

 辺の長さは b+c,c+a,a+b になり、a+b+c=s とすれば、

 ヘロンの公式により S=√(sabc) ,内接円の半径は S/s=40 ,

 外接円の半径は (b+c)(c+a)(a+b)/(4S)=125 になります。

 S/s=40 より S=40s 、S2=sabc より 1600s2=sabc 、abc=1600s 、

 (b+c)(c+a)(a+b)/(4S)=125 より (b+c)(c+a)(a+b)=500S 、(s-a)(s-b)(s-c)=500S 、

 s3-(a+b+c)s2+(bc+ca+ab)s-abc=500・40s 、

 (bc+ca+ab)s-1600s=500・40s 、bc+ca+ab=21600 です。

 よって、x3-sx2+21600x-1600s=0 の解が x=a,b,c です。

 f(x)=x3-sx2+21600x-1600s とすれば、

 x≦0 のとき f(x)<0 ですので、実数解はすべて正の解になり、

 f(x)=0 が (2重解を2個と数えて)3つの実数解をもてばよいことになります。

 よって、極大値≧0 かつ 極小値≦0 であればよいことになります。

 簡単のため、s=3k とすれば、S=40s=120k になり、

 f(x)=x3-3kx2+21600x-4800k 、f'(x)=3x2-6kx+21600=3(x2-2kx+7200) です。

 f'(x)=0 が異なる2つの実数解をもつので、k2-7200>0 、k>60√2 です。

 f'(x)=0 の解を x=α,β とすれば、α+β=2k ,αβ=7200 です。

 f(x)=(x2-2kx+7200)(x-k)+(14400-2k2)x+2400k であり、

 f(α)・f(β)≦0 だから、

 {(14400-2k2)α+2400k}{(14400-2k2)β+2400k}≦0 、

 {(7200-k2)α+1200k}{(7200-k2)β+1200k}≦0 、

 (7200-k2)2αβ+1200k(7200-k2)(α+β)+1440000k2≦0 、

 7200(7200-k2)2+2400k2(7200-k2)+1440000k2≦0 、

 3(7200-k2)2+k2(7200-k2)+600k2≦0 、

 計算を簡単にするために 600=n とすれば、

 3(12n-k2)2+k2(12n-k2)+nk2≦0 、3k4-72nk2+432n2-k4+12nk2+nk2≦0 、

 2k4-59nk2+432n2≦0 、(2k2-27n)(k2-16n)≦0 、

 27n/2≦k2≦16n 、27・300≦k2≦16・600 、90≦k≦4・10√6 、

 10800≦120k≦4800√6 、10800≦S≦4800√6 になり、最大値は 4800√6 、最小値は 10800 です。


[解答4]

 一般化して、△ABCの 外心を O ,内心を r ,外接円の半径を R ,内接円の半径を r ,OI=d 、

 辺ABと内接円の接点を T とします。

 オイラーの定理より、d2=R(R-2r)=R2-2Rr であり、

 (R±d)2=R2±2Rd+d2=R2±2Rd+R(R-2r)=2R(R-r±d) より、R-r±d=(R±d)2/(2R) 、

 (R±d)2-r2=(R±d+r)(R±d-r)=(R±d+r)(R±d)2/(2R) 、

 2Rr-r2±2rd=R2-r2±2rd-d2=(R+r干d)(R-r±d)=(R+r干d)(R±d)2/(2R) です。

 これらの式は、以下の式変形で使います。

 AO-OI≦AI≦AO+OI より R-d≦AI≦R+d 、

 AT=x とすれば、AI2=x2+r2 です。

 AI=R±d のとき、AI2=(R±d)2=2R(R-r±d) 、

 x2=AI2-r2=(R±d)2-r2=(R±d+r)(R±d)2/(2R) 、

 x=(R±d)√{(R±d+r)/(2R)} ですので、

 (R-d)√{(R-d+r)/(2R)}≦x≦(R+d)√{(R+d+r)/(2R)} です。

 次に、tan(A/2)=r/x であり、f(x)=(BC+CA+AB)/2 とすれば、

 f(x)=BC+x=2RsinA+x=2R{2tan(A/2)}/{1+tan2(A/2)}+x

  =2R(2r/x)/(1+r2/x2)+x=4Rrx/(x2+r2)+x ={4Rr/(x2+r2)+1}x で、

 2Rr=R2-d2=(R+d)(R-d) だから、f(x)={2(R+d)(R-d)/(x2+r2)+1}x とも表されます。

 f((R±d)√{(R±d+r)/(2R)})={2(R+d)(R-d)/(R±d)2+1}(R±d)√{(R±d+r)/(2R)}

  ={2(R干d)+(R±d)}√{(R±d+r)/(2R)}=(3R干d)√{(R±d+r)/(2R)} です。

 f'(x)=4Rr{(x2+r2-x・2x)/(x2+r2)2}+1={(x2+r2)2-4Rr(x2-r2)}/(x2+r2)2

  ={(x2+r2)2-4Rr(x2+r2)+8Rr3}/(x2+r2)2={(x2+r2-2Rr)2-4R2r2+8Rr3}/(x2+r2)2

  ={(x2+r2-2Rr)2-4Rr2(R-2r)}/(x2+r2)2={(x2+r2-2Rr)2-4r2d2}/(x2+r2)2

  =(x2+r2-2Rr+2rd)(x2+r2-2Rr-2rd)/(x2+r2)2 だから、

 x>0 の範囲で、

 極大値は x=√(2Rr-r2-2rd)=(R-d)√{(R+r+d)/(2R)} のときで、

 f((R-d)√{(R+r+d)/(2R)})=〔4Rr/{2r(R-d)}+1〕(R-d)√{(R+r+d)/(2R)}

  ={4Rr/(2r)+(R-d)}√{(R+r+d)/(2R)}=(3R-d)√{(R+r+d)/(2R)}

  =f((R+d)√{(R+d+r)/(2R)}) 、

 極小値は x=√(2Rr-r2+2rd)=(R+d)√{(R+r-d)/(2R)} のときで、

 f((R+d)√{(R+r-d)/(2R)})=〔4Rr/{2r(R+d)}+1〕(R+d)√{(R+r-d)/(2R)}

  ={4Rr/(2r)+(R+d)}√{(R+r-d)/(2R)}=(3R+d)√{(R+r-d)/(2R)}

  =f((R-d)√{(R-d+r)/(2R)}) ですので、

 f(x) の 最大値は (3R-d)√{(R+r+d)/(2R)} ,最小値は (3R+d)√{(R+r-d)/(2R)} です。

 面積 S は、S=r・(BC+CA+AB)/2=r・f(x) なので、

 S の 最大値は r(3R-d)√{(R+r+d)/(2R)} ,最小値は r(3R+d)√{(R+r-d)/(2R)} です。

 本問では R=125 ,r=40 ,d2=125(125-2・40)=125・45 より d=(5√5)(3√5)=75 、

 最大値は 40(3・125-75)√{(125+40+75)/(2・125)}=40・300√(240/250)=4800√6 、

 最小値は 40(3・125+75)√{(125+40-75)/(2・125)}=40・450√(90/250)=10800 です。


[参考]

 x=(R±d)√{(R±d+r)/(2R)}のとき、AI=R±d で、

 A,O,I または A,I,O がこの順に一直線上にありますので、AB=AC の二等辺三角形です。

 x=√(2Rr-r2干2rd) のとき、

 (d±r)2+x2=d2±2rd+r2+(2Rr-r2干2rd)=d2+2Rr=R2 だから、OT2+AT2=OA2

 極値をとるとき、Aが底角である二等辺三角形です。

 よって、面積が最大・最小になるのは 二等辺三角形の場合です。

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uch*n*anさん,たけちゃんさん からも 詳しい解答(コメント)を頂きましたので、紹介します。


[uch*n*anさんの解答]

 三角形を△ABCとし,面積をS,三辺をa,b,c,s=(a+b+c)/2とします。
 すると,S=(a+b+c)r/2,S=1/2・bc・sinA=1/2・bc・a/2R=abc/4R,S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)),
 ただし,三角形ができる条件として,a+b>c,b+c>a,c+a>b,がつきます。
 これが面倒なので,2x=b+c-a,2y=c+a-b,2z=a+b-c,とおくと,x>0,y>0,z>0,とでき,
 x+y+z=(a+b+c)/2=s,a=y+z,b=z+x,c=x+y,a+b+c=2(x+y+z),なので,
 x+y+z=S/r,xy+yz+zx=r(4R+r),xyz=rS,がいえます。
 そこで,x,y,z は,次のtの三次方程式,t3-S/r・t2+r(4R+r)・t-rS=0 の解になります。
 ただし,x,y,z>0なので,この3次方程式が正の実数解を三つことが必要十分な条件になります。
 f(t)=t3-S/r・t2+r(4R+r)・t-rS,とおいてグラフを考えると,
 f(0)=-rS<0,なので,重なってもいいですが,
 極値を横軸の正の方向に二つもち,極大値と極小値が横軸の上下又は軸上にあることが,必要十分です。
 つまり,f'(t)=3・t2-2S/r・t+r(4R+r)=0,において,
 判別式/4=(S/r)2-3r(4R+r)≧0,S≧r・√(3r(4R+r))……(1),
 解をα,βとすると,α+β=2S/3r>0,αβ=r(4R+r)/3>0,f(α)・f(β)≦0,です。
 後はひたすら計算するだけ。
 f(t)=t3-S/r・t2+r(4R+r)・t-rS
  =(3・t2-2S/r・t+r(4R+r))(t/3-S/9r)+(2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・t+4/9・(R-2r)S,
 f(α)・f(β)≦0,
 ((2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・α+4/9・(R-2r)S)・((2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・β+4/9・(R-2r)S)≦0,
 ここの計算は大変ですが,解と係数の関係を使って整理できます。
 (2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)2・αβ+(2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・(4/9・(R-2r)S)・(α+β)+(4/9・(R-2r)S)2≦0,
 (2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)2・r(4R+r)/3+(2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・(4/9・(R-2r)S)・2S/3r+(4/9・(R-2r)S)2≦0,
 4/243・(4R+r)/r3・S4-8/81・(4R+r)2・S2+4/27・r3・(4R+r)3+16/81・(4R+r)(R-2r)・S2
  -16/243・(R-2r)/r3・S4+16/81・(R-2r)2・S2≦0,
 4/27・1/r2・S4+8/81・(-(4R+r)2+2(4R+r)(R-2r)+2(R-2r)2)・S2+4/27・r3・(4R+r)3≦0,
 1/r2・S4+2/3・(-16R2-8Rr-r2+8R2-14Rr-4r2+2R2-8Rr+8r2)・S2+r3・(4R+r)3≦0,
 1/r2・S4-2/3・(6R2+30Rr-3r2)・S2+r3・(4R+r)3≦0,
 1/r2・S4-2・(2R2+10Rr-r2)・S2+r3・(4R+r)3≦0,
 S4-2・r2・(2R2+10Rr-r2)・S2+r5・(4R+r)3≦0。
 これは解けそう。
 判別式/4=(r2・(2R2+10Rr-r2))2-r5・(4R+r)3
  =r4・(4R4+100R2r2+r4+40R3r-4R2r2-20Rr3)-r5・(64R3+48R2r+12Rr2+r3)
  =r4・(4R4+96R2r2+r4+40R3r-20Rr3-64R3r-48R2r2-12Rr3-r4)
  =r4・(4R4-24R3r+48R2r2-32Rr3)
  =4・r4・R・(R3-6R2r+12Rr2-8r3)
  =4・r4・R・(R-2r)3
 r2(2R2+10Rr-r2)-2r2(R-2r)√(R(R-2r))≦S2≦r2(2R2+10Rr-r2)+2r2(R-2r)√(R(R-2r)),
 √(r2(2R2+10Rr-r2)-2r2(R-2r)√(R(R-2r)))≦S≦√(r2(2R2+10Rr-r2)+2r2(R-2r)√(R(R-2r))),
 r√((2R2+10Rr-r2)-2(R-2r)√(R(R-2r)))≦S≦r√((2R2+10Rr-r2)+2(R-2r)√(R(R-2r))))……(2)。
 ここで,R=125,r=40,とすると,4R+r=500+40=540,R-2r=125-80=45,
 2R2+10Rr-r2=31250+50000-1600=79650,
 (1)は,S≧40・√64800=180√2。
 (2)は,40・√(79650-2・45・√(125・45))≦S≦40・√(79650+2・45・√(125・45)),
 40・√(79650-90・75)≦S≦40・√(79650+90・75),40・√72900≦S≦40・√86400,
 40・270≦S≦40・120√6,180√2<10800≦S≦4800√6,
 そこで,Sの最大値=4800√6,Sの最小値=10800,になります。

 実は(2)のときは(1)は常にいえるので不要ですが,念のため。


[たけちゃんさんの解答]

 三角形の3頂点をA,B,Cとし,外心をO,内心をI とします.
 OA=125,オイラーの定理より OI=√(1252-2・125・40)=75 だから,
 AI の範囲は50≦AI≦200であり,Aから内接円に引いた2接線(ABとAC)は,
 AI が大きいほどなす角が小さくなります.∠BAC=2θ,∠BAI=θとして,
 内接円の半径が 40 なので,sinθの範囲は 40/200≦sinθ≦40/50 となって,
 θは鋭角なので,tanθ(=tとおく)の範囲は 1/(2√6)≦t≦4/3 と分かります.
 ( tがこの範囲の値をすべてとることを言うには,厳密には,
  「OI=75となる2点O,Iをとる.
  Oを中心とする半径125の円周上の任意の点Pから,
  Iを中心とする半径40の円Kに接する2弦を引くとき,
  その2弦のP以外の端点を結ぶとKに接する」を示しておくべきかもしれません.
  もっとも,これはポンスレの閉形定理の最も基本的な形ですし,
  オイラーの定理自体とも近い内容なので,省いてもよさそうな気がします.)
 正弦定理から,BC=2・125sin2θ=500t/(1+t2).
 Aから内接円の接点までの長さは 40/tanθ=40/t.
 よって,三角形ABCの周長は 1000t/(1+t2)+40/t であり,
 面積は,(1000t/(1+t2)+40/t)・40/2=800(25t/(1+t2)+2/t) となります.
 f(t)=25t/(1+t2)+2/t(1/(2√6)≦t≦4/3) とおくと,
 f(t)の最大値,最小値から面積の最大値,最小値が分かることになります.
 ここで,f'(t)を計算すると,(途中は少し省きますが)
 f'(t)=-(9t2-1)(3t2-2)/(((1+t2)2)(t2)) となって,
 1/(2√6)≦t≦4/3では,t=1/3,t=(√6)/3においてのみ f(t) は極値をとります.
 ここで,OとIが一致しないことから三角形ABCは正三角形とはなり得ず,
 面積が最大のときの三角形の形状に対し,θを ∠A/2,∠B/2,∠C/2 とできて,
 少なくとも2つのtに対して f(t) は最大になるはずです.
 ( 最小に関しても同様です.)
 これより,f(t) の極値は,端のtに対する関数値と一致せざるを得ず,
 比較的計算しやすいのはこの問題では極値の方である気がした
 ( 今見ると,これ自体が気のせいのような感じもありますが...)ので,
 そちらを計算して,
 f(t)の最大値はf(1/3)=27/2,f(t)の最小値はf((√6)/3)=6√6.
 これより,面積(=800f(t)) の最大値,最小値は,
 最大値 27/2・800=10800,最小値 6√6・800=4800√6
 となります.

 「少なくとも2つのtに対してf(t)は最大,最小」ですが,
 これが実際「3つのtに対して」とはならないことが,増減の考察からわかり,
 このことが,「最大,最小となるときの三角形の形状が二等辺三角形である」
 ことに対応していますね.

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Comments 17

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さっちゃんこ  
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おはようございます

まるでダリアのようですね

ピンクの色も素敵です
ナイス☆彡

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクダリアという品種の椿です。
本当にダリアのような椿です。

ひとりしずか  
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見た瞬間ダリアかと……
名前そのまんまですネ
きれいですね~

今日の問題長い(笑)

ニリンソウ  
No title

ダリアのような椿!
これは初めて~~確かに葉が椿ですね。
改良種かな。。。ひとっていろいろ作り出すものですね。

ナイス

ひとりしずか  
No title

アメリカで作られたサルウィンツバキとトウツバキの交配種とありました(検索)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしにゃさっぱりでした ^^;
[解答3]がかろうじてわかるような気がします ^^;☆
直感でも2個とも二等辺三角形を思いつくべきでした…!!
片方は計算させてみたもののどういうわけか違ってたなぁ…^^;;
それにしてもみなさん強者の面々ねぇ☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、2度のコメントとナイス!をありがとうございます。
ダリアと言われても信じてしまいますね。
椿も交配によって、いろんな品種が作られているようです。
ところで、問題は1行だけ、長くないですよ(笑)
解答はかなり長いですが、……。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
葉は椿ですが、初めて見たら椿とは思えません。
ほんとうに人はいろんな花を作り出すものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
本当に、皆さん、こんな面倒な問題をよく解かれるものです。
二等辺三角形だということは、まぁ、直観的に分かりますが、
きちんと示すのは難しいことです。

たけちゃん  
No title

私は[解答2]と類似の方法で解きました.
当初の解答は,説明が雑だった気がするので,
文字を[解答2]に合わせた上で少し書き直したものを提示します.

三角形の3頂点をA,B,Cとし,外心をO,内心をIとします.
OA=125,オイラーの定理よりOI=√(125^2-2*125*40)=75だから,
AIの範囲は50≦AI≦200であり,Aから内接円に引いた2接線(ABとAC)は,
AIが大きいほどなす角が小さくなります.∠BAC=2θ,∠BAI=θとして,
内接円の半径が40なので,sinθの範囲は40/200≦sinθ≦40/50となって,
θは鋭角なので,tanθ(=tとおく)の範囲は1/(2√6)≦t≦4/3と分かります.

たけちゃん  
No title

(tがこの範囲の値をすべてとることを言うには,厳密には,
「OI=75となる2点O,Iをとる.
Oを中心とする半径125の円周上の任意の点Pから,
Iを中心とする半径40の円Kに接する2弦を引くとき,
その2弦のP以外の端点を結ぶとKに接する」を示しておくべきかもしれません.
もっとも,これはポンスレの閉形定理の最も基本的な形ですし,
オイラーの定理自体とも近い内容なので,省いてもよさそうな気がします.)

たけちゃん  
No title

正弦定理から,BC=2*125sin2θ=500t/(1+t^2).
Aから内接円の接点までの長さは40/tanθ=40/t.
よって,三角形ABCの周長は1000t/(1+t^2)+40/tであり,
面積は,(1000t/(1+t^2)+40/t)*40/2=800(25t/(1+t^2)+2/t)となります.
f(t)=25t/(1+t^2)+2/t (1/(2√6)≦t≦4/3) とおくと,
f(t)の最大値,最小値から面積の最大値,最小値が分かることになります.

たけちゃん  
No title

ここで,f'(t)を計算すると,(途中は少し省きますが)
f'(t)=-(9t^2-1)(3t^2-2)/(((1+t^2)^2)(t^2))となって,
1/(2√6)≦t≦4/3では,t=1/3,t=(√6)/3においてのみf(t)は極値をとります.
ここで,OとIが一致しないことから三角形ABCは正三角形とはなり得ず,
面積が最大のときの三角形の形状に対し,θを∠A/2,∠B/2,∠C/2とできて,
少なくとも2つのtに対してf(t)は最大になるはずです.
(最小に関しても同様です.)
これより,f(t)の極値は,端のtに対する関数値と一致せざるを得ず,
比較的計算しやすいのはこの問題では極値の方である気がした
(今見ると,これ自体が気のせいのような感じもありますが...)ので,
そちらを計算して,
f(t)の最大値はf(1/3)=27/2,f(t)の最小値はf((√6)/3)=6√6.
これより,面積(=800f(t))の最大値,最小値は,
最大値27/2*800=10800,最小値6√6*800=4800√6
となります.

たけちゃん  
No title

「少なくとも2つのtに対してf(t)は最大,最小」ですが,
これが実際「3つのtに対して」とはならないことが,増減の考察からわかり,
このことが,「最大,最小となるときの三角形の形状が二等辺三角形である」
ことに対応していますね.

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんと、ダリアと思いました(o^-^o)きれい♪

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、詳しい解答を有難うございます。
出題の日に uch*n*anさんも詳しい解答を寄せてくれていますので、
まとめて、明日にでも記事にしたいと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクダリアというのは名前からもダリアのようですね。
いろんな花が存在するものです。