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[答1080] その2

ヤドカリ

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[答1080] その2


 「外接円の半径が 125 で 内接円の半径が 40 の 三角形の面積 S の最大値は? 最小値は?」


に対して、4つの解答( http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37629640.html )を示しましたが、
uch*n*anさん,たけちゃんさん からも 詳しい解答(コメント)を頂きましたので、紹介します。


[uch*n*anさんの解答]

 三角形を△ABCとし,面積をS,三辺をa,b,c,s=(a+b+c)/2とします。
 すると,S=(a+b+c)r/2,S=1/2・bc・sinA=1/2・bc・a/2R=abc/4R,S=√(s(s-a)(s-b)(s-c)),
 ただし,三角形ができる条件として,a+b>c,b+c>a,c+a>b,がつきます。
 これが面倒なので,2x=b+c-a,2y=c+a-b,2z=a+b-c,とおくと,x>0,y>0,z>0,とでき,
 x+y+z=(a+b+c)/2=s,a=y+z,b=z+x,c=x+y,a+b+c=2(x+y+z),なので,
 x+y+z=S/r,xy+yz+zx=r(4R+r),xyz=rS,がいえます。
 そこで,x,y,z は,次のtの三次方程式,t3-S/r・t2+r(4R+r)・t-rS=0 の解になります。
 ただし,x,y,z>0なので,この3次方程式が正の実数解を三つことが必要十分な条件になります。
 f(t)=t3-S/r・t2+r(4R+r)・t-rS,とおいてグラフを考えると,
 f(0)=-rS<0,なので,重なってもいいですが,
 極値を横軸の正の方向に二つもち,極大値と極小値が横軸の上下又は軸上にあることが,必要十分です。
 つまり,f'(t)=3・t2-2S/r・t+r(4R+r)=0,において,
 判別式/4=(S/r)2-3r(4R+r)≧0,S≧r・√(3r(4R+r))……(1),
 解をα,βとすると,α+β=2S/3r>0,αβ=r(4R+r)/3>0,f(α)・f(β)≦0,です。
 後はひたすら計算するだけ。
 f(t)=t3-S/r・t2+r(4R+r)・t-rS
  =(3・t2-2S/r・t+r(4R+r))(t/3-S/9r)+(2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・t+4/9・(R-2r)S,
 f(α)・f(β)≦0,
 ((2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・α+4/9・(R-2r)S)・((2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・β+4/9・(R-2r)S)≦0,
 ここの計算は大変ですが,解と係数の関係を使って整理できます。
 (2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)2・αβ+(2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・(4/9・(R-2r)S)・(α+β)+(4/9・(R-2r)S)2≦0,
 (2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)2・r(4R+r)/3+(2r(4R+r)/3-2/9・(S/r)2)・(4/9・(R-2r)S)・2S/3r+(4/9・(R-2r)S)2≦0,
 4/243・(4R+r)/r3・S4-8/81・(4R+r)2・S2+4/27・r3・(4R+r)3+16/81・(4R+r)(R-2r)・S2
  -16/243・(R-2r)/r3・S4+16/81・(R-2r)2・S2≦0,
 4/27・1/r2・S4+8/81・(-(4R+r)2+2(4R+r)(R-2r)+2(R-2r)2)・S2+4/27・r3・(4R+r)3≦0,
 1/r2・S4+2/3・(-16R2-8Rr-r2+8R2-14Rr-4r2+2R2-8Rr+8r2)・S2+r3・(4R+r)3≦0,
 1/r2・S4-2/3・(6R2+30Rr-3r2)・S2+r3・(4R+r)3≦0,
 1/r2・S4-2・(2R2+10Rr-r2)・S2+r3・(4R+r)3≦0,
 S4-2・r2・(2R2+10Rr-r2)・S2+r5・(4R+r)3≦0。
 これは解けそう。
 判別式/4=(r2・(2R2+10Rr-r2))2-r5・(4R+r)3
  =r4・(4R4+100R2r2+r4+40R3r-4R2r2-20Rr3)-r5・(64R3+48R2r+12Rr2+r3)
  =r4・(4R4+96R2r2+r4+40R3r-20Rr3-64R3r-48R2r2-12Rr3-r4)
  =r4・(4R4-24R3r+48R2r2-32Rr3)
  =4・r4・R・(R3-6R2r+12Rr2-8r3)
  =4・r4・R・(R-2r)3
 r2(2R2+10Rr-r2)-2r2(R-2r)√(R(R-2r))≦S2≦r2(2R2+10Rr-r2)+2r2(R-2r)√(R(R-2r)),
 √(r2(2R2+10Rr-r2)-2r2(R-2r)√(R(R-2r)))≦S≦√(r2(2R2+10Rr-r2)+2r2(R-2r)√(R(R-2r))),
 r√((2R2+10Rr-r2)-2(R-2r)√(R(R-2r)))≦S≦r√((2R2+10Rr-r2)+2(R-2r)√(R(R-2r))))……(2)。
 ここで,R=125,r=40,とすると,4R+r=500+40=540,R-2r=125-80=45,
 2R2+10Rr-r2=31250+50000-1600=79650,
 (1)は,S≧40・√64800=180√2。
 (2)は,40・√(79650-2・45・√(125・45))≦S≦40・√(79650+2・45・√(125・45)),
 40・√(79650-90・75)≦S≦40・√(79650+90・75),40・√72900≦S≦40・√86400,
 40・270≦S≦40・120√6,180√2<10800≦S≦4800√6,
 そこで,Sの最大値=4800√6,Sの最小値=10800,になります。

 実は(2)のときは(1)は常にいえるので不要ですが,念のため。


[たけちゃんさんの解答]

 三角形の3頂点をA,B,Cとし,外心をO,内心をI とします.
 OA=125,オイラーの定理より OI=√(1252-2・125・40)=75 だから,
 AI の範囲は50≦AI≦200であり,Aから内接円に引いた2接線(ABとAC)は,
 AI が大きいほどなす角が小さくなります.∠BAC=2θ,∠BAI=θとして,
 内接円の半径が 40 なので,sinθの範囲は 40/200≦sinθ≦40/50 となって,
 θは鋭角なので,tanθ(=tとおく)の範囲は 1/(2√6)≦t≦4/3 と分かります.
 ( tがこの範囲の値をすべてとることを言うには,厳密には,
  「OI=75となる2点O,Iをとる.
  Oを中心とする半径125の円周上の任意の点Pから,
  Iを中心とする半径40の円Kに接する2弦を引くとき,
  その2弦のP以外の端点を結ぶとKに接する」を示しておくべきかもしれません.
  もっとも,これはポンスレの閉形定理の最も基本的な形ですし,
  オイラーの定理自体とも近い内容なので,省いてもよさそうな気がします.)
 正弦定理から,BC=2・125sin2θ=500t/(1+t2).
 Aから内接円の接点までの長さは 40/tanθ=40/t.
 よって,三角形ABCの周長は 1000t/(1+t2)+40/t であり,
 面積は,(1000t/(1+t2)+40/t)・40/2=800(25t/(1+t2)+2/t) となります.
 f(t)=25t/(1+t2)+2/t(1/(2√6)≦t≦4/3) とおくと,
 f(t)の最大値,最小値から面積の最大値,最小値が分かることになります.
 ここで,f'(t)を計算すると,(途中は少し省きますが)
 f'(t)=-(9t2-1)(3t2-2)/(((1+t2)2)(t2)) となって,
 1/(2√6)≦t≦4/3では,t=1/3,t=(√6)/3においてのみ f(t) は極値をとります.
 ここで,OとIが一致しないことから三角形ABCは正三角形とはなり得ず,
 面積が最大のときの三角形の形状に対し,θを ∠A/2,∠B/2,∠C/2 とできて,
 少なくとも2つのtに対して f(t) は最大になるはずです.
 ( 最小に関しても同様です.)
 これより,f(t) の極値は,端のtに対する関数値と一致せざるを得ず,
 比較的計算しやすいのはこの問題では極値の方である気がした
 ( 今見ると,これ自体が気のせいのような感じもありますが...)ので,
 そちらを計算して,
 f(t)の最大値はf(1/3)=27/2,f(t)の最小値はf((√6)/3)=6√6.
 これより,面積(=800f(t)) の最大値,最小値は,
 最大値 27/2・800=10800,最小値 6√6・800=4800√6
 となります.

 「少なくとも2つのtに対してf(t)は最大,最小」ですが,
 これが実際「3つのtに対して」とはならないことが,増減の考察からわかり,
 このことが,「最大,最小となるときの三角形の形状が二等辺三角形である」
 ことに対応していますね.

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

ハクモクレン咲き始めの真っ白い花びら惹かれます
当地はまだまだかたい蕾状態です。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます

白木蓮は昼間青空の下で見るのも良いですが
夜空に浮かぶ白木蓮も見事ですネ
以前は夜空に浮かぶ庭の白木蓮見るのが楽しみだったのですが
今は枯れてしまい見れなくなってしまいました
残念です

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでは白モクレンの花弁が落ち始めました。
紫モクレンが咲き出しました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はモクレンの咲いている所へ夜は出かけないので、知りませんでしたが、
言われてみれば、夜桜以上に綺麗かも知れませんね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
基本知識を如何に応用できるかが問われる問題ですが…
いずれ菖蒲(アヤメ)か杜若(カキツバタ)の解答での両横綱ですわねぇ🌸
ま、こんな問題を思いついたやどかりさんも凄いけど🌸

ここの出題を問題集として出版されてはどうでしょうかしら?
素敵な問題と解答の宝庫にて...人口に膾炙して欲しいものです ^^v

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
両名とも、たった1行の問題に、長い解答をしてくれました。
この量からしても纏めるだけで大変だと思いますので、
出版については考えていません。

ニリンソウ  
No title

その方でもモクレンが咲いてるのですね!
まだ見かけないようです。
4月になってからでしょうって明日で3月も終わりですね。 早いなぁ~

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
当方では白木蓮はもう花弁がだいぶ落ちています。
紫木蓮が咲き始めたところです。
季節がどんどん進みます。