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[答1081] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

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[答1081] 漸化式で表された数列


 漸化式 a2n-1=3an-1+an ,a2n=an-1+3an (n=2,3,4,……) で表される数列{an}において、

 a2=3 ,a23=276 であれば、第46項 a46=? また、初項から第46項までの和は?


[解答]

 a1=a とすれば、 a3=3a1+a2=3a+3 ,a5=3a2+a3=3a+12 ,a6=a2+3a3=9a+12 ,

 a11=3a5+a6=18a+48 ,a12=a5+3a6=30a+48 ,a23=3a11+a12=84a+192 だから、

 84a+192=276 、a=1 ですので、

 a1=1 ,a2=3 ,a3=6 ,a5=15 ,a6=21 ,a11=66 ,a12=78 ,a23=276 、

 a4=a1+3a2=10 ,a10=a4+3a5=55 ,a22=a10+3a11=253 ,a46=a22+3a23=1081 と求められ、

 an=n(n+1)/2 と推測されます。

 a1=1 ,a2=3 より n=1,2 のときは an=n(n+1)/2 は成り立ちます。

 n=k-1,k のとき an=n(n+1)/2 が成り立つことを仮定すれば、

  ak-1=(k-1)k/2 ,ak=k(k+1)/2 であり、

  a2k-1=3ak-1+ak=3(k-1)k/2+k(k+1)/2=(4k-2)k/2=(2k-1)・2k/2 、

  a2k=ak-1+3ak=(k-1)k/2+3k(k+1)/2=(4k+2)k/2=2k・(2k+1)/2 、

 n=2k-1,2k のとき an=n(n+1)/2 が成り立ちます。

 よって、すべての自然数nについて、an=n(n+1)/2 が成り立ちます。

 これを確かめておけば、a46=46・47/2=1081 です。

 また、ak=k(k+1)/2=-(k-1)k(k+1)/6+k(k+1)(k+2)/6 だから、

 k=1,2,3,……,n として加えると、

 a1+a2+a3+……+an=n(n+1)(n+2)/6 になり、

 a1+a2+a3+……+a46=46・47・48/6=17296 です。


[参考1]

 an=n(n+1)/2=n2 なので、a1+a2+a3+……+an122232+……+n2 です。

 これは、1,2,3,……,n から重複を許して3個を選ぶのに、

 最大数が 1,2,3,……,n である場合を別々に計算したときの和を表すので、

 a1+a2+a3+……+ann3=n(n+1)(n+2)/6 です。


[参考2]

 三角数 an が、漸化式 a2n-1=3an-1+an ,a2n=an-1+3an を満たすことは、上の図から明らかです。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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コブシかな……
春の花がめじろおしに咲いて~

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コブシも咲くようになってきました。
季節がどんどん進む様子を春の花が教えてくれます。

さっちゃんこ  
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おはようございます
青い空をバックに辛夷の花がとても奇麗ですね

ナイス☆彡

ニリンソウ  
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こんにちは~
町でも辛夷が見れるんですね~
青空に素敵です。
こちらで見れるのはまだ先きですよ。

ナイス

アキチャン  
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こんにちわ。
ハクモクレン、コブシ見られるようになりましたね(o^-^o)
近所のハクモクレンのあるお家がわかってきました♪咲くと分かるので、楽しんで探してます(笑)

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
漸化式の意味が図示されてみると一目瞭然ですね☆
考えたこともなかった…^^;
さすが慧眼ね☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コブシの花はモクレンほどは見られませんが、見かけることもあります。
モクレン同様、青空をバックに撮りたい花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
此方では、町の中でたまに見られます。
コブシの花も春を告げる花と認識しています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
モクレンもコブシも咲くまで楽しみですね。
春は周りを見ながら歩くことが多くなります。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
図を思いついてこの問題に仕上げました。
ネタはいろいろ転がっているものですね。